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Prove: n(A X B) = n(A) * n(B)

Prove: n(A X B) = n(A) * n(B)

Mensagempor juliomarcos » Dom Set 14, 2008 02:58

Livro sem resposta é triste...
Se alguém puder falar se está certo pra mim, agradeço desde já.

Seja A X B, o produto cartesiano de A com B.
Prove que n(A X B) = n(A) * n(B):

A = {a1, a2, a3,..., an}
B = {b1, b2, b3,..., bn}
Adotando n(A) = n. E n(B) = m.
A X B = {(a,b) | a \in A ^ b \in B} = {(a1,b1), (a1,b2), (a1,b3),..., (a1,bn), (a2,b1), (a2,b2), (a2,b3),..., (a2,bn), (a3,b1), (a3,b2), (a3,b3),..., (a3,bn),...,(an,bn)}.
É facilmente verificado que existem m pares ordenados da forma (a1,bi), para cada a \in A. Ou seja, têm-se m um determinado número n de vezes, logo n(A X B) = n(A) * n(B).
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Re: Prove: n(A X B) = n(A) * n(B)

Mensagempor admin » Ter Set 23, 2008 15:00

Olá juliomarcos!

Acredito que sua idéia esteja correta sim, mas esta "prova" não é tão comum pois trata-se de uma definição que por sua vez já é conseqüência direta de outra definição, o produto cartesiano.

Em alguns trechos você trocou m por n, mas acho que foi descuido na edição, compreendi a idéia.

Podemos também considerar, partindo da definição de produto cartesiano,
A X B = \left\{(a,b) | a\in A \wedge b\in B\right\}
uma tabela com os elementos dos conjuntos: os pares ordenados.
Estando um conjunto em linha e outro em coluna.
O número total de elementos será o produto dado pela dimensão da tabela.
É como pensar analogamente em área de retângulo.

Até mais!
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Re: Prove: n(A X B) = n(A) * n(B)

Mensagempor juliomarcos » Qua Set 24, 2008 00:59

Hmm. Interessante observação geométrica. Apresentar o produto cartesiano como uma tabela e utilizar "..." para representa-la em termos gerais é uma boa prova?
Muito Obrigado.
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Re: Prove: n(A X B) = n(A) * n(B)

Mensagempor admin » Qua Set 24, 2008 05:33

Ainda assim seria algo informal.
Teríamos que novamente utilizar conclusões famosas como "é facilmente verificado que..." ou ainda "é fácil ver que...".

Notei que a multiplicação cardinal aparece com freqüência como definição e não como teorema (também é interessante um estudo sobre a diferença destas terminologias).
Por exemplo, veja neste livro:

Axiomatic Set Theory By Patrick Suppes
http://books.google.com/books?id=sxr4LrgJGeAC&pg=PA115

Bons estudos!
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Assunto: simplifiquei e achei...está certo?????????????
Autor: zig - Sex Set 23, 2011 13:57

{(0,05)}^{-\frac{1}{2}}=\frac{10}{\sqrt[5]}{(0,05)}^{-\frac{1}{2}}=\frac{10}{\sqrt[2]{5}}


Assunto: simplifiquei e achei...está certo?????????????
Autor: Vennom - Sex Set 23, 2011 21:41

zig escreveu:{(0,05)}^{-\frac{1}{2}}=\frac{10}{\sqrt[5]}{(0,05)}^{-\frac{1}{2}}=\frac{10}{\sqrt[2]{5}}


Rpz, o negócio é o seguinte:
Quando você tem uma potência negativa, tu deve inverter a base dela. Por exemplo: {\frac{1}{4}}^{-1} = \frac{4}{1}

Então pense o seguinte: a fração geratriz de 0,05 é \frac{1}{20} , ou seja, 1 dividido por 20 é igual a 0.05 . Sendo assim, a função final é igual a vinte elevado à meio.
Veja: {0,05}^{-\frac{1}{2}} = {\frac{1}{20}}^{-\frac{1}{2}} = {\frac{20}{1}}^{\frac{1}{2}} = \sqrt[2]{20}

A raiz quadrada de vinte, você acha fácil, né?

Espero ter ajudado.


Assunto: simplifiquei e achei...está certo?????????????
Autor: fraol - Dom Dez 11, 2011 20:23

Nós podemos simplificar, um pouco, sqrt(20) da seguinte forma:

sqrt(20) = sqrt(4 . 5) = sqrt( 2^2 . 5 ) = 2 sqrt(5).

É isso.


Assunto: simplifiquei e achei...está certo?????????????
Autor: fraol - Dom Dez 11, 2011 20:24

Nós podemos simplificar, um pouco, \sqrt(20) da seguinte forma:

\sqrt(20) = \sqrt(4 . 5) = \sqrt( 2^2 . 5 ) = 2 \sqrt(5).

É isso.