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Como pode ser?

Como pode ser?

Mensagempor Guga1981 » Qua Fev 11, 2015 19:32

Amigos, não entendi o enunciado deste exercício.
Como um número x somado a um número y pode ser igual ao número y vezes o número x (afirmativa II)? Isso só da certo para x e y = 2 ou x e y = 1 e não para quaisquer x e y, como o exercício afirma.

Segue o exercício:

(U.E.CE 1980) Seja F : \Re \rightarrow \Re uma função satisfazendo as seguintes propriedades:

I - f(0) = 1
II - f(x + y) = f(x) . f(y) \forall x, y \in \Re
III - 0 < f(1) < 1

Então o valor da expressão f(0) + f(1) + f(2) + ... + f(9) é igual a:

a) \frac{{f(1)}^{10} - f(1)} {f(1) - 1}

b){f(1)}^{10} - 1

c){f(1)}^{10} - f(1)

d)\frac{{f(1)}^{10} - 1} {f(1) - 1}
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Re: Como pode ser?

Mensagempor Baltuilhe » Qua Fev 11, 2015 20:07

Boa tarde!

f(0)=1

f(1)=f(0+1)=f(0)\times f(1)=1\times f(1)=f(1)

f(2)=f(1+1)=f(1)\times f(1)=f(1)^2

f(3)=f(1+2)=f(1)\times f(2)=f(1)\times f(1)^2=f(1)^3

Então:
f(4)=f(1)^4

f(5)=f(1)^5

E assim sucessivamente.
Portanto, é uma P.G. com termo inicial 1 e razão f(1)

Fórmula da soma de P.G.
S_n=a_1\frac{q^n-1}{q-1}
Onde q é a razão da P.G.

Substituindo o que se deve, então:
S_{10}=1\frac{f(1)^{10}-1}{f(1)-1}
S_{10}=\frac{f(1)^{10}-1}{f(1)-1}

Como 0<f(1)<1 não há perigo em dar zero no denominador.

Espero ter ajudado!
Baltuilhe
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Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: scggomes - Sex Fev 18, 2011 10:38

Olá ! Tenho essa dúvida e não consigo montar o problema para resolução:

Qual é o racional não nulo cujo o quadrado é igual à sua terça parte ?

Grata.


Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: MarceloFantini - Sex Fev 18, 2011 12:27

x^2 = \frac{x}{3}


Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: scggomes - Sex Fev 18, 2011 12:55

também pensei que fosse assim, mas a resposta é \frac{1}{3}.

Obrigada Fantini.


Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: MarceloFantini - Sex Fev 18, 2011 13:01

x^2 = \frac{x}{3} \Rightarrow x^2 - \frac{x}{3} = 0 \Rightarrow x \left(x - \frac{1}{3} \right) = 0

Como x \neq 0:

x - \frac{1}{3} = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{3}

O que você fez?


Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: scggomes - Sex Fev 18, 2011 16:17

eu só consegui fazer a igualdade, não consegui desenvolver o restante, não pensei em fatoração, mas agora entendi o que vc fez.

Obrigada.