[Conjuntos] Problema de conjuntos com porcentagem

por **Tibes** » Qui Jan 31, 2013 14:29

Olá, peço a ajuda de vocês para resolver este exercício:

(UFMG) Uma escola realizou uma pesquisa sobre os hábitos alimentares de seus alunos. Alguns resultados dessa pesquisa foram:
- 82 % do total de entrevistados gostam de chocolate;
- 75 % do total de entrevistados gostam de pizza; e
- 72 % do total de entrevistados gostam de batata frita.

Então, é correto afirmar que, no total de alunos entrevistados, a porcentagem dos que gostam, ao mesmo tempo, de chocolate, de pizza e de batata frita é, pelo menos, de:

As deduções possíveis que eu cheguei são:

Para C=Chocolate; P=Pizza e B=Batata frita.

$n(C \cup P \cup B)= 100 % n(C \cap P \cap B)= ?$

n(C) = 82 %
n(P) = 78 %
n(B) = 75 %

$n(C \cup P) - n(B) = 25 % n(C \cup B) - n(P) = 22 % n(P \cup B) - n(C) = 18 %$

Depois disso fiquei andando em círculos e nada de chegar a uma resposta hehe. Não sei se errei nas deduções. Se errei como seriam as corretas? Se não, como continuar isso?

Valeu gente pela atenção. Esse bendito problema já me roubou algumas horas.

Conto com a ajuda de vocês.

por **young_jedi** » Sex Fev 01, 2013 12:39

a menor possibilidade dele gostar chocolate e pizza ao mesmo tempos é quando

$n(C \cap P)-n(C\cup P)=100$

$82+75-n(C\cup P)=100$

$(C\cup P)=75+82-100$

$n(C\cup P)=57$

assim o numero de pessoas que gostem dos tres ao mesmo tempo é dado pela intersecção dos tres

$n(C \cup P \cup B)-n(C\cap P \cap B)=100$

$n((C \cup P) \cup B)-n(C\cap P \cap B)=100$

$57+72-n(C\cap P\cap B)=100$

$n(C\cap P\cap B)=57+72-100$

$n(C\cap P\cap B)=29$

ou seja, pelo menos 29%

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