[Inequações do 1° Grau] Dúvidas

por **lcmschilling** » Seg Jun 23, 2014 22:49

Preciso de ajuda para solucionar três questões sobre inequações:

k) $\chi+\frac{5-x}{6}>\frac{4x+4}{3}-\frac{x}{2}$
Resolvi essa questão e conforme o gabarito a resposta é S=Ø

l) $\frac{x}{2}+\frac{x-1}{3}\leq x-\frac{x}{6}$
Resolvi essa questão e o resultado foi semelhante ao da questão acima, porém no gabarito consta resposta S=?
Gostaria de saber como solucionar essas duas inequações e porque no segundo caso a resposta é diferente da primeira questão mesmo tendo resultado semelhante.

c) $-3\leq \frac{4x+1}{5} < 0$ a resposta do gabarito é -4 < x < 0 por isso gostaria de saber por que o sinal de ? deu lugar ao sinal de < e como chegou-se a x<0

Obrigado!

por **e8group** » Seg Jun 23, 2014 23:24

Por favor utilize o LaTeX para digitar as equações .

Não é notável o que digitou ... Seria $x + \frac{5-x}{6} > \frac{4x-4}{\dfrac{3-x}{2}}$ ?

por **lcmschilling** » Seg Jun 23, 2014 23:45

Já editei corretamente as fórmulas agora.

por **e8group** » Ter Jun 24, 2014 01:23

Dica :

As informações sobre os números reais $a \geq b$ e $a - b \geq 0 (*)$ são equivalentes .

Suponha que $S : = \{ x \in \mathbb{R} : x+\frac{5-x}{6} >\frac{4x+4}{3}-\frac{x}{2} \}$ é não vazio , pela suposição existe algum

tal que $a =x+\frac{5-x}{6} > \frac{4x+4}{3}-\frac{x}{2} = b$ . Use (*)

para concluir que a - b > 0

é falso o que equivale dizer que não é verdade que a > b

o que equivale dizer que não existe

em S o que equivale dizer que

é vazio .

Se você quiser usufruir da interpretação geométrica , também pode tomar os esboços das retas $r_1 : y = x+\frac{5-x}{6} = \frac{5}{6} x + \frac{5}{6}$ e $r_2 : y = \frac{4x+4}{3}- \frac{x}{2} = \frac{5}{6}x + \frac{8}{5}$ . Verá que sempre a reta r_2

está acima de r_1

.

Aproveitando este background geométrico p/ próxima questão . Deixe

$r_1 : y = \frac{x}{2}+\frac{x-1}{3} = \frac{5}{6}x - \frac{2}{3}$ e $r_2 = x - \frac{x}{6} = \frac{5}{6} x$ . Note que r_1

e

são paralelas (ou seja r_1 e r_2 não possuem pontos em comum ) .Das duas uma , o conjunto solução é vazio ou é toda reta real . Verifique-se que r_2

está sempre acima de r_1

, portanto sempre a desigualdade é verdadeira .

Ou alternativamente ... use (*)

para concluir que $\frac{x}{2}+\frac{x-1}{3} - \left(x - \frac{x}{6} \right) \leq 0$ é sempre verdadeira o que equivale dizer que $\frac{x}{2}+\frac{x-1}{3} \leq x - \frac{x}{6}$ o que equivale dizer que $S = \mathbb{R}$ (já que x é genérico, não levantamos hipótese sobre ele , ele é qualquer n° real ) .