Ajuda Matemática

Seja $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ uma função tal que, dados dois Reais

e

,

.

Determine as soluções f=f(x)

possíveis.

Alguma idéia?

Não compreendi a questão. Determinar as soluções f=f(x)

? Ou seria f' = f(x)

?

Não! O problema pede que determinemos qual função que detém tal propriedade.

Eu acredito que seja a exponencial: $f(x) = c.e^{kx}$ , c,k

constantes reais.

Detém qual propriedade? É isto que não entendi até agora.

A propriedade f(a+b) = f(a) . f(b)

.

Não ta aparecendo no enunciado?

Sim, mas acho que este enunciado está mal escrito. Ele quer determinar todas as funções que satisfaçam esta propriedade? A exponencial é claro, falta provar que é a única. Mesmo assim, tenho dúvidas se não precisamos mostrar que f' = f(x)

.

Como poderíamos mostrar qe a Exponencial é a única solução?

Se for a sua questão original, continuo sem saber como resolver. Se for $\frac{df}{dx} = f(x)$ então a unicidade segue pelo teorema de existência e unicidade de equações diferenciais ordinárias.

Sim, sim!

Qual o problema com a notação f=f(x)

? Apenas mostra que

é uma função da variável Real

.

Não está errado, apenas não faz sentido como caracterização de função, não dá informações sobre "soluções". Você quer encontrar funções tal que a imagem da soma seja produto das imagens, e tenho quase certeza de que não é suficiente para caracterizar a função exponencial.

Boa noite,

Vou dar o meu pitaco nessa questão.

Primeiro, sabemos que a função exponencial é uma função cujo domínio é o conjunto dos números reais e a imagem é conjunto dos reais positivos a sua expressão algébrica, ou lei de formação, é f(x) = a^x

, com

e $a \neq 1$ .

Vamos analisar as propriedades que podemos obter de uma função

tal que $f(a + b) = f(a) \cdot f(b)$ .

1)

é sempre positiva, pois: $f(a) = f(\frac{a}{2} + \frac{a}{2}) = f(\frac{a}{2} \cdot \frac{a}{2}) = f(\frac{a}{2})^2 > 0$ .

2) f(0) = 1

, pois: $f(a) = f(a + 0) = f(a) \cdot f(0) = f(a)$ .

3) $f(-a) = f(a)^{-1}$ , pois: $f(0) = f(-a+a) = f(-a) \cdot f(a) = 1$ .

Será que isso dá para caracterizar a tal f como a função exponencial e mais, a única função com essas propriedades?

O que vocês dizem?

.

Na sua primeira conclusão está incorreto, pois $f \left( \frac{a}{2} \right)^2 \geq 0$ . Você não pode afirmar que é maior que zero sempre (com apenas isso). Na segunda, deveria poder assumir que $f(a) \neq 0$ , o que não fez. Afirmar que $f(a) \cdot f(0) = f(a)$ está tacitamente assumindo que f(0)=1

, que é o que quer provar. Para a terceira, está tudo OK, pois você partiu que f(0)=1

.

Existe um ponto importante, tudo isso é satisfeito para a^x

mas, se incluírmos a propriedade que $\frac{df}{dx} = f(x)$ com f(0)=1

, então

não é solução, e sim f(x) = e^x

. Tanto que definimos e trabalhamos sempre com ela e chegamos nas outras a partir dela.

Temos também a caracterização por série de potências (que eu particularmente prefiro).

Ok. Você está certo, aliás devemos assumir que $f(a) \neq 0$ para valer 3 e, então valem, automaticamente, 1 e 2.

Quanto à derivada, dá pra inferir a partir de $f(a+b) = f(a) \cdot f(b)$ ? ( e^x

não é um caso particular de a^x

? )

Editado: o

em

é um

do domínio e o

de

é uma base - pode ficar um pouco confuso eu ter usado o mesmo símbolo para duas coisas diferentes.
.

MarceloFantini escreveu:Ele quer determinar todas as funções que satisfaçam esta propriedade?

Sim!

.

MarceloFantini escreveu:Você quer encontrar funções tal que a imagem da soma seja produto das imagens, e tenho quase certeza de que não é suficiente para caracterizar a função exponencial.

Pois é, não é. Mas essa é a questão. O problema pede todas as soluções-funções possíveis. A exponencial ser a única é uma particularidade.

Obrigado pelas contribuições, amigos! (:

Não, note que você tem que impor a condição sobre a diferenciabilidade. Não é um caso particular. Sobre o editado, não houve confusão (para mim).

Eu quis dizer que a exponencial genérica $f(x) = c.e^{ax}$ ser solução única ( no caso de classificar funções: exponencial, harmonica, polinomial, etc...) é uma caracteristica particular da equação. Não que a exponencial f(x) = e^x

é uma solução particular. Sei que para isto deveríamos acrescentar informações ao problema, como valores iniciais.

Para isso basta provar o caso f(x) = e^x

.

Bom dia,

Gostaria de fazer uma ressalva aqui:

fraol escreveu:Ok. Você está certo, aliás devemos assumir que $f(a) \neq 0$ para valer 3 e, então valem, automaticamente, 1 e 2.

Assumir que $f(a) \neq 0$ não é uma condição, é uma propriedade oriunda da propriedade geral dada no início ( $f(a+b) = f(a) \cdot f(b)$ ). Isto ocorre pois se

for nula para algum x = x_0

então ela será nula para todo o

.

.

É verdade, mas você não tinha explicitado isso até então.

Eu já sabia disso.

É que o meu raciocínio é mais lento e tá fatiado, igual um certo julgamento ...

Não estou julgando. Essa é uma questão interessante e é importante pegar os pontos sutis dela. Como já sabemos que é verdadeira, mesmo que não saibamos justificar, é muito relevante os detalhes que assumimos ou não. Meu último comentário era pra ser em tom de observação, não de julgamento. Desculpe pelo mal-entendido.

Ok, tranquilo, eu entendi, até achei que você estava brincando, eu sim. O certo julgamento ao qual me referi é aquele de Brasília, que está fatiado ... As suas colocações são sempre muito boas e, em geral, precisas. Gosto de discutir esses assuntos também.

Agora voltando ao problema em si, você se refere a qual justitifativa em

Como já sabemos que é verdadeira, mesmo que não saibamos justificar ...

?

.

Sabemos que a solução geral é a exponencial genérica. Mas provamos isso por verificação e não por dedução.

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