Equação Modular

[Rafael16]

Boa tarde galera!

Resolvi essa equação:

2|x|² + 3|x| = 2
2|x|² = -3|x| + 2 --> C.E: -3x + 2 ? 0 ? x ? 2/3
2x² = -3x + 2
2x² + 3x - 2 = 0

Tirei a raiz e obtive 1/2 e -2. Como -2 é menor que 2/3, que é a condição de existência, sobrou só 1/2 que satisfaz a C.E. Portanto,
S = {1/2}. Mas a solução correta é S = {1/2, -1/2}.

E vi a resolução desse exercício logo abaixo mas não entendi:

2|x|² + 3|x| = 2

2|x|² + 3|x| - 2 = 0

para x < 0:

2x² - 3x - 2 = 0

raízes -> x = - 1/2 ou x = 2 ( não convém pois estamos supondo x < 0 )


para x >= 0 :

2x² + 3x - 2 = 0

raízes -> x = 1/2 ou x = - 2 ( não convém pois estamos supondo x >= 0 )

logo:

S = [ - 1/2 , 1/2 }

Não entendi esse "não convém", e também não entendi o porque o 2 não está no conjunto solução, pois é maior que C.E que é 2/3.

Obrigado

[LuizAquino]

Resolvi essa equação:

2|x|² + 3|x| = 2
2|x|² = -3|x| + 2 --> C.E: -3x + 2 ? 0 ? x ? 2/3

A condição de existência está errada. O correto seria:



Ou seja, você escreveu -3x ao invés de -3|x|.

Resolvendo a condição de existência, temos que:

2x² = -3x + 2
2x² + 3x - 2 = 0

Tirei a raiz e obtive 1/2 e -2. Como -2 é menor que 2/3, que é a condição de existência, sobrou só 1/2 que satisfaz a C.E. Portanto,
S = {1/2}. Mas a solução correta é S = {1/2, -1/2}.

Aqui há outro erro. Você tinha a equação:



A partir daí, você simplesmente (sem qualquer motivo para isso) substituiu |x| por x. Então você escreveu:





O erro desse raciocínio está no fato de que |x| não é igual a x.

Isso só é verdade quando . No caso de x < 0, temos que |x| é igual a -x.

E vi a resolução desse exercício logo abaixo mas não entendi:

2|x|² + 3|x| = 2

2|x|² + 3|x| - 2 = 0

para x < 0:

2x² - 3x - 2 = 0

raízes -> x = - 1/2 ou x = 2 ( não convém pois estamos supondo x < 0 )


para x >= 0 :

2x² + 3x - 2 = 0

raízes -> x = 1/2 ou x = - 2 ( não convém pois estamos supondo x >= 0 )

logo:

S = [ - 1/2 , 1/2 }

Não entendi esse "não convém", e também não entendi o porque o 2 não está no conjunto solução, pois é maior que C.E que é 2/3.

Aqui foi aplicado a definição de módulo:



Dessa forma, a solução foi separada em dois casos: quando quando x < 0 e quando .

O termo "não convém" é o mesmo que "não serve".

No primeiro caso, considerou-se que x < 0.

Ao resolver a equação, determinou-se que x = -1/2 e x = 2.

Ora, mas como considerou-se que x < 0, a solução x = 2 "não serve" (ou "não convém").

Já no segundo caso, quando considerou-se que , determinou-se que x = 1/2 e x = -2.

Ora, mas como considerou-se que , a solução x = -2 "não serve" (ou "não convém").

[Rafael16]

Muito obrigado LuizAquino. Mas fiquei com outra dúvida.
Você, na condição de existência, fez


Mas porque ficou


Você considerou no 1° caso como x negativo e deixou-o como positivo passando para o outro membro? E no segundo caso você considerou x como sendo positivo, e não precisou de passar para o outro membro. Certo?
Valeu Luiz!

[LuizAquino]

Você, na condição de existência, fez


Mas porque ficou


Você considerou no 1° caso como x negativo e deixou-o como positivo passando para o outro membro? E no segundo caso você considerou x como sendo positivo, e não precisou de passar para o outro membro. Certo?

Em resumo, foi aplicado a definição de módulo: