Equação Modular

por **Rafael16** » Dom Mar 04, 2012 14:07

Boa tarde galera!

Resolvi essa equação:

2|x|² + 3|x| = 2
2|x|² = -3|x| + 2 --> C.E: -3x + 2 ? 0 ? x ? 2/3
2x² = -3x + 2
2x² + 3x - 2 = 0

Tirei a raiz e obtive 1/2 e -2. Como -2 é menor que 2/3, que é a condição de existência, sobrou só 1/2 que satisfaz a C.E. Portanto,
S = {1/2}. Mas a solução correta é S = {1/2, -1/2}.

E vi a resolução desse exercício logo abaixo mas não entendi:

2|x|² + 3|x| = 2

2|x|² + 3|x| - 2 = 0

para x < 0:

2x² - 3x - 2 = 0

raízes -> x = - 1/2 ou x = 2 ( não convém pois estamos supondo x < 0 )

para x >= 0 :

2x² + 3x - 2 = 0

raízes -> x = 1/2 ou x = - 2 ( não convém pois estamos supondo x >= 0 )

logo:

S = [ - 1/2 , 1/2 }

Não entendi esse "não convém", e também não entendi o porque o 2 não está no conjunto solução, pois é maior que C.E que é 2/3.

Obrigado

por **LuizAquino** » Dom Mar 04, 2012 15:35

Rafael16 escreveu:Resolvi essa equação:

2|x|² + 3|x| = 2
2|x|² = -3|x| + 2 --> C.E: -3x + 2 ? 0 ? x ? 2/3

A condição de existência está errada. O correto seria:

$-3|x| + 2 \geq 0$

Ou seja, você escreveu -3x ao invés de -3|x|.

Resolvendo a condição de existência, temos que:

$-3|x| + 2 \geq 0$

$-3|x| \geq -2$

$|x| \leq \dfrac{2}{3}$

$-\dfrac{2}{3} \leq x \leq \dfrac{2}{3}$

Rafael16 escreveu:2x² = -3x + 2
2x² + 3x - 2 = 0

Tirei a raiz e obtive 1/2 e -2. Como -2 é menor que 2/3, que é a condição de existência, sobrou só 1/2 que satisfaz a C.E. Portanto,
S = {1/2}. Mas a solução correta é S = {1/2, -1/2}.

Aqui há outro erro. Você tinha a equação:

2x^2 = -3|x| + 2

A partir daí, você simplesmente (sem qualquer motivo para isso) substituiu |x| por x. Então você escreveu:

2x^2 = -3x + 2

O erro desse raciocínio está no fato de que |x| não é igual a x.

Isso só é verdade quando $x\geq 0$ . No caso de x < 0, temos que |x| é igual a -x.

Rafael16 escreveu:E vi a resolução desse exercício logo abaixo mas não entendi:

2|x|² + 3|x| = 2

2|x|² + 3|x| - 2 = 0

para x < 0:

2x² - 3x - 2 = 0

raízes -> x = - 1/2 ou x = 2 ( não convém pois estamos supondo x < 0 )

para x >= 0 :

2x² + 3x - 2 = 0

raízes -> x = 1/2 ou x = - 2 ( não convém pois estamos supondo x >= 0 )

logo:

S = [ - 1/2 , 1/2 }

Não entendi esse "não convém", e também não entendi o porque o 2 não está no conjunto solução, pois é maior que C.E que é 2/3.

Aqui foi aplicado a definição de módulo:

$|x| = \begin{cases}x,\textrm{ se }x\geq 0 \\ -x,\textrm{ se }x< 0\end{cases}$

Dessa forma, a solução foi separada em dois casos: quando quando x < 0 e quando $x\geq 0$ .

O termo "não convém" é o mesmo que "não serve".

No primeiro caso, considerou-se que x < 0.

Ao resolver a equação, determinou-se que x = -1/2 e x = 2.

Ora, mas como considerou-se que x < 0, a solução x = 2 "não serve" (ou "não convém").

Já no segundo caso, quando considerou-se que $x\geq 0$ , determinou-se que x = 1/2 e x = -2.

Ora, mas como considerou-se que $x\geq 0$ , a solução x = -2 "não serve" (ou "não convém").

por **Rafael16** » Dom Mar 04, 2012 16:04

Muito obrigado LuizAquino. Mas fiquei com outra dúvida.
Você, na condição de existência, fez
$\left|x \right| \leq \frac{2}{3}$

Mas porque ficou
$\frac{-2}{3} \leq x \leq \frac{2}{3}$

Você considerou no 1° caso como x negativo e deixou-o como positivo passando para o outro membro? E no segundo caso você considerou x como sendo positivo, e não precisou de passar para o outro membro. Certo?
Valeu Luiz!

por **LuizAquino** » Seg Mar 05, 2012 14:23

Rafael16 escreveu:Você, na condição de existência, fez
$\left|x \right| \leq \frac{2}{3}$

Mas porque ficou
$\frac{-2}{3} \leq x \leq \frac{2}{3}$

Você considerou no 1° caso como x negativo e deixou-o como positivo passando para o outro membro? E no segundo caso você considerou x como sendo positivo, e não precisou de passar para o outro membro. Certo?

Em resumo, foi aplicado a definição de módulo:

$\left|x \right| \leq \dfrac{2}{3} \Rightarrow \begin{cases}x \leq \dfrac{2}{3},\textrm{ se } x\geq 0 \\ \\ -x \leq \dfrac{2}{3},\textrm{ se } x < 0\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}0\leq x \leq \dfrac{2}{3}\\ \\ -\dfrac{2}{3} \leq x < 0\end{cases}\Rightarrow -\dfrac{2}{3} \leq x \leq \dfrac{2}{3}$

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