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4y''+y'=0 qual relação recorrência? EDO em série de potência

4y''+y'=0 qual relação recorrência? EDO em série de potência

Mensagempor Felipe » Qua Mar 25, 2020 22:07

Alguém consegue explica o cálculo pra encontrar a relação recorrência da seguinte equação diferencial em série de potência? 4y''+y'=0
Obrigado
Felipe
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Re: 4y''+y'=0 qual relação recorrência? EDO em série de potê

Mensagempor adauto martins » Qui Abr 02, 2020 16:30

temos uma EDO homogenea(=0) de segunda ordem...
primeiro devemos achar y...entao
faz-se y'=p,e ambos dependo de um parametro t...
teremos
4.p'+p=0\Rightarrow p'/p=-1/4

\int_{}^{}(p'/p)=\int_{}^{}(-1/4)

ln\left|p \right|=(-1/4)t+c

\left|p \right|={e}^{(-1/4)t+c}={e}^{c}.{e}^{(-1/4)t}=k.{e}^{(-1/4)t}

como p é uma exponencial,logo p é positivo,teremos entao

p=k.{e}^{(-1/4)t}

logo,teremos

y'=p=k.{e}^{(-1/4)t}

dy/dt=k.{e}^{(-1/4)t}

dy=k.{e}^{(-1/4)t}dt

\int_{}^{}dy=\int_{}^{}(k.{e}^{(-1/4)t})dt

y=(-k/4){e}^{(-1/4)t}+c

como o problema nao traz condiçoes inicias de contorno,e o ponto onde expandir a serie...
vamos tomar p=0 , k=1 e c=0...

y=(-1/4).{e}^{(-1/4)t}

a expansao em serie de taylor y:

y=\sum_{n=0}^{\infty}({f}^{n}(0)/n!).x^{n}

y=(-1/4)+(x/16)-({x}^{2}/64)+({x}^{3}/(3!64)+...

y={(-1/4)}^{n+1}.\sum_{n=1}^{\infty}({x}^{n}/n!)
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Re: 4y''+y'=0 qual relação recorrência? EDO em série de potê

Mensagempor Felipe » Qui Abr 02, 2020 20:35

Obrigado... me esclareceu o calculo
Felipe
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Re: 4y''+y'=0 qual relação recorrência? EDO em série de potê

Mensagempor adauto martins » Dom Abr 05, 2020 11:14

forma correta de y:

y=\sum_{n=0}^{\infty}{(-1/4)}^{n+1}.({x}^{n}/n!)
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Assunto: simplifiquei e achei...está certo?????????????
Autor: zig - Sex Set 23, 2011 13:57

{(0,05)}^{-\frac{1}{2}}=\frac{10}{\sqrt[5]}{(0,05)}^{-\frac{1}{2}}=\frac{10}{\sqrt[2]{5}}


Assunto: simplifiquei e achei...está certo?????????????
Autor: Vennom - Sex Set 23, 2011 21:41

zig escreveu:{(0,05)}^{-\frac{1}{2}}=\frac{10}{\sqrt[5]}{(0,05)}^{-\frac{1}{2}}=\frac{10}{\sqrt[2]{5}}


Rpz, o negócio é o seguinte:
Quando você tem uma potência negativa, tu deve inverter a base dela. Por exemplo: {\frac{1}{4}}^{-1} = \frac{4}{1}

Então pense o seguinte: a fração geratriz de 0,05 é \frac{1}{20} , ou seja, 1 dividido por 20 é igual a 0.05 . Sendo assim, a função final é igual a vinte elevado à meio.
Veja: {0,05}^{-\frac{1}{2}} = {\frac{1}{20}}^{-\frac{1}{2}} = {\frac{20}{1}}^{\frac{1}{2}} = \sqrt[2]{20}

A raiz quadrada de vinte, você acha fácil, né?

Espero ter ajudado.


Assunto: simplifiquei e achei...está certo?????????????
Autor: fraol - Dom Dez 11, 2011 20:23

Nós podemos simplificar, um pouco, sqrt(20) da seguinte forma:

sqrt(20) = sqrt(4 . 5) = sqrt( 2^2 . 5 ) = 2 sqrt(5).

É isso.


Assunto: simplifiquei e achei...está certo?????????????
Autor: fraol - Dom Dez 11, 2011 20:24

Nós podemos simplificar, um pouco, \sqrt(20) da seguinte forma:

\sqrt(20) = \sqrt(4 . 5) = \sqrt( 2^2 . 5 ) = 2 \sqrt(5).

É isso.