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Equação Polinomial

Equação Polinomial

Mensagempor Flavio Cacequi » Seg Jun 11, 2018 16:39

Dada a equação 4x^4-ax^3+bx^2-cx+d=0 de raízes x1,x2;x3;x4, positivas tal que:x1/2+x2/4+x3/5+x4/8=1.Calcule a maior raiz.
a)1/2
b)1
c)2
d)7/3
e)5/4

r:c
Flavio Cacequi
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Re: Equação Polinomial

Mensagempor DanielFerreira » Sex Set 13, 2019 21:42

Flavio Cacequi escreveu:Dada a equação 4x^4-ax^3+bx^2-cx+d=0 de raízes x1,x2;x3;x4, positivas tal que:x1/2+x2/4+x3/5+x4/8=1.Calcule a maior raiz.
a)1/2
b)1
c)2
d)7/3
e)5/4

r:c


\\ \mathsf{\frac{x_1}{2} + \frac{x_2}{4} + \frac{x_3}{5} + \frac{x_4}{8} = 1} \\\\ \mathsf{20x_1 + 10x_2 + 8x_3 + 5x_4 = 40} \\\\ \mathsf{(5x_1 + 5x_2 + 5x_3 + 5x_4) + 15x_1 + 5x_2 + 3x_3 = 40} \\\\ \mathsf{(5x_1 + 5x_2 + 5x_3 + 5x_4) + (3x_1 + 3x_2 + 3x_3) + 12x_1 + 2x_2 = 40} \\\\ \mathsf{(5x_1 + 5x_2 + 5x_3 + 5x_4) + (3x_1 + 3x_2 + 3x_3) + (2x_1 + 2x_2) + 10x_1 = 40} \\\\ \mathsf{5 \cdot (x_1 + x_2 + x_3 + x_4) + 3 \cdot (x_1 + x_2 + x_3) + 2 \cdot (x_1 + x_2) + 10x_1 = 40 \qquad \qquad \qquad (i)}


Suponha que:

\bullet \quad \mathsf{x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 4}

\bullet \quad \mathsf{x_1 + x_2 + x_3 = 3}

\bullet \quad \mathsf{x_1 + x_2 = 2}

\bullet \quad \mathsf{x_1 = 1}


Substituindo esses supostos 'valores' na equação \mathsf{(i)},

\\ \mathsf{5 \cdot 4 + 3 \cdot 3 + 2 \cdot 2 + 10 \cdot 1 = 40} \\\\ \mathsf{20 + 9 + 4 + 10 = 40} \\\\ \mathsf{43 = 40}

O que é um absurdo! No entanto, ficou fácil notal que devemos subtrair três unidades de 43 para que a igualdade seja satisfeita. Desse modo, devemos reduzir \mathsf{(x_1 + x_2 + x_3)} para 2, em vez de 3.

Daí, temos que:

\bullet \quad \mathsf{x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = \boxed{\mathsf{4}}}

\bullet \quad \mathsf{x_1 + x_2 + x_3 = \boxed{\mathsf{2}}}

\bullet \quad \mathsf{x_1 + x_2 = \boxed{\mathsf{2}}}

\bullet \quad \mathsf{x_1 = \boxed{\mathsf{1}}}


Por fim, resolvendo o sistema

\begin{cases} \mathsf{x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 4} \\ \mathsf{x_1 + x_2 + x_3 = 2} \\ \mathsf{x_1 + x_2 = 2} \\ \mathsf{x_1 = 1} \end{cases}


Concluímos que as raízes são \boxed{\boxed{\mathsf{S = \left \{ x_1, x_2, x_3, x_4 \right \} = \left \{ 0, 1, 2\right \}}}}, onde 1 tem multiplicidade dois!!
"Sabedoria é saber o que fazer;
habilidade é saber como fazer;
virtude é fazer."
(David S. Jordan)
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Assunto: cálculo de limites
Autor: Hansegon - Seg Ago 25, 2008 11:29

Bom dia.

Preciso de ajuda na solução deste problema, pois só chego ao resultado de 0 sobre 0.
Obrigado

\lim_{x\rightarrow-1} x³ +1/x²-1[/tex]


Assunto: cálculo de limites
Autor: Molina - Seg Ago 25, 2008 13:25

\lim_{x\rightarrow-1} \frac{{x}^{3}+1}{{x}^{2}-1}

Realmente se você jogar o -1 na equação dá 0 sobre 0.
Indeterminações deste tipo você pode resolver por L'Hôpital
que utiliza derivada.
Outro modo é transformar o numerador e/ou denominador
para que não continue dando indeterminado.

Dica: dividir o numerador e o denominador por algum valor é uma forma que normalmente dá certo. :y:

Caso ainda não tenha dado uma :idea:, avisa que eu resolvo.

Bom estudo!


Assunto: cálculo de limites
Autor: Guill - Dom Abr 08, 2012 16:03

\lim_{x\rightarrow-1}\frac{x^3+1}{x^2-1}

\lim_{x\rightarrow-1}\frac{(x+1)(x^2-x+1)}{(x+1)(x-1)}

\lim_{x\rightarrow-1}\frac{(x^2-x+1)}{(x-1)}=\frac{-3}{2}