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Equação Polinomial

Equação Polinomial

Mensagempor Flavio Cacequi » Ter Abr 03, 2018 08:47

Dada a equação biquadrada x^4-(a+13)x^2+4a=0, determine um valor de a para que a soma das raízes positivas seja 5.
)36
b)-4
c)2
d)9
e)6
Flavio Cacequi
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Re: Equação Polinomial

Mensagempor Gebe » Ter Abr 03, 2018 14:13

Não tem alternativa correta, é só conferir por um programa qualquer que, quando substituido os valores de "a" dados como alternativas e somamos as raizes positivas não chegamos ao valor 5. Como pode ser visto ao final da minha resolução temos uma possibilidade de a=36, porem este valor quando substituido nao resulta duas raizes positivas que somadas dão 5.
Claro posso ter errado algo, nesse caso me desculpe.

\\
x^4-(a+13)x^2+4a=0\\
\\
\left(x^2 \right)^2-(a+13)x^2+4a=0\\
\\
Assumir\;x^2=z\\
\\
z^2-(a+13)z+4a=0\\
\\
Resolvendo\;por\;Bhaskara:\\
\\
z=\frac{(a+13)\pm \sqrt{(a+13)^2-4*1*4a}}{2*1}\\
\\
z=\frac{(a+13)\pm \sqrt{a^2+10a+169}}{2}\\
\\
x=\pm \sqrt{z}\\
\\
x=\pm \sqrt{\frac{(a+13)\pm \sqrt{a^2+10a+169}}{2}}\\
\\
As\:duas\:raizes\:positivas\:são:+\sqrt{\frac{(a+13)\pm \sqrt{a^2+10a+169}}{2}}\\
\\
Portanto:\\
\\
\sqrt{\frac{(a+13)+ \sqrt{a^2+10a+169}}{2}}+\sqrt{\frac{(a+13)- \sqrt{a^2+10a+169}}{2}}=5\\
\\
\\
\left(\sqrt{\frac{(a+13)+ \sqrt{a^2+10a+169}}{2}}+\sqrt{\frac{(a+13)- \sqrt{a^2+10a+169}}{2}} \right)^2=\left(5 \right)^2\\
\\

\\

\\
2\frac{(a+13)}{2}+2\sqrt{\frac{16a}{4}}=25\\
\\
a+13+\sqrt{16a}=25\\
\\
(12-a)^2=16a\\
\\
a^2-40a+144=0\\
\\
a=4\;ou\;a=36

a=4 resulta em duas raizes positivas que somadas dão 5, sendo elas 4 e 1.
Gebe
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Assunto: Unesp - 95 Números Complexos
Autor: Alucard014 - Dom Ago 01, 2010 18:22

(UNESP - 95) Seja L o Afixo de um Número complexo a=\sqrt{8}+ i em um sistema de coordenadas cartesianas xOy. Determine o número complexo b , de módulo igual a 1 , cujo afixo M pertence ao quarto quadrante e é tal que o ângulo LÔM é reto.


Assunto: Unesp - 95 Números Complexos
Autor: MarceloFantini - Qui Ago 05, 2010 17:27

Seja \alpha o ângulo entre o eixo horizontal e o afixo a. O triângulo é retângulo com catetos 1 e \sqrt{8}, tal que tg \alpha = \frac{1}{sqrt{8}}. Seja \theta o ângulo complementar. Então tg \theta = \sqrt{8}. Como \alpha + \theta = \frac{\pi}{2}, o ângulo que o afixo b formará com a horizontal será \theta, mas negativo pois tem de ser no quarto quadrante. Se b = x+yi, então \frac{y}{x} = \sqrt {8} \Rightarrow y = x\sqrt{8}. Como módulo é um: |b| = \sqrt { x^2 + y^2 } = 1 \Rightarrow x^2 + y^2 = 1 \Rightarrow x^2 + 8x^2 = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{3} \Rightarrow y = \frac{\sqrt{8}}{3}.

Logo, o afixo é b = \frac{1 + i\sqrt{8}}{3}.