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por Matheus Lacombe O » Sáb Jan 05, 2013 14:45
Olá pessoal! Desculpem interromper as férias de vocês, mas.. La vai..
- Voltei a resolver o "Matemática Paratodos 8º" e no capítulo sobre equações encontrei um dúvida. O livro coloca a seguinte questão (encontre o valorde 'x' para):
Resolução:- O problema é o seguinte: Neste capítulo do livro, o aluno ainda não conhece a fórmula de Baskhara e esta estudando a resolução de equações do segundo grau apenas por fatoração (Isolando o fator comum ou determinando um trinômio quadrado perfeito, ou seja, produto notável que seja equivalente a expressão).
-Se eu tento resolver o produto notável (x+1)² e somo ele ao outro 'x', passando o '5' para este mesmo lado da igualdade (resultando em 'x²+3x-4=0'), não tenho mais como fatorar a equação (para usar a técnica do produto igual a zero). A não ser que eu já conheça as raizes da equação e aí então retroativamente estabeleça que:
- O que por fatoração me parece a única forma de resolver a questão. Porém se eu chego a '-1' e '4' pela forma de baskhara em 'X²+3x-4' então esta resolção não fecha pq o aluno ainda não conhece a fórmula de baskhara.
Por favor alguém pode me dar uma luz? Se a multiplicação '(x-1)(x+4)' é a única fórma de resolver a equação sem usar baskhara, então como chegar a ela sem retroativamente usar baskhara para descobrir as raizes e estabelecer a multiplicação (afinal os números '-1' e '4' não saem do nada, não é mesmo? Existe uma técnica, não é?).
Grato, desde já. Abraços. Fui.
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Matheus Lacombe O
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por ant_dii » Sáb Jan 05, 2013 15:45
Bom...
Uma ideia é você usar a regra do completar quadrado.
Outra ideia é você fazer o seguinte: você tem uma equação do tipo
, então faça
daí basta desenvolver o lado direito e encontra A e B.
Mas é importante você verificar que nem sempre esse método será possível (a não ser que eles tenham estudado números complexos).
Só os loucos sabem...
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ant_dii
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por sauloandrade » Sáb Jan 05, 2013 15:47
Certo, você fatorou certo e chegou em
. Agora para que dois números multiplicados seja igual 0 um deles devem ser igual a zero ou os dois sejam zero, concorda? Então para que esse produto seja zero, temos que
ou
. Resolvendo
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sauloandrade
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por Jhenrique » Sáb Jan 05, 2013 16:29
Vc tem que usar a técnica chamada de "completar quadrado", a fórmula que não é de báscara baseia-se justamente nessa ideia. É irritante ver certos professores solucionando uma eq do 2º grau e chegar na fórmula q não é de báscara sem contar aos estudantes q o que ele fez foi completar o quadrado.
Seguinte... suponha a equação
, o que queremos é isolar a variável
, para isso vamos recorrer ao produto notável
. Aqui é sacada mais importante! Vc precisa dar um jeito de fazer isto:
ser semelhante a isto:
para daí poder tirar partido com a fatoração.
Olhando para:
e substituindo A e B por x e k, veja como fica:
, bem semelhante ao modelo da eq do 2º grau, não é mesmo? Agora vamos manipular o modelo para ficar mais semelhante ao produto notável...:
, pronto! Se identificarmos
então
precisar ser
. É fácil ver que a parcela invariável do modelo não é igual a
, o que fazemos então é rearrumar a expressão para que seja possível a fatoração, portanto:
. Como
, então podemos fatorar o modelo já todo modificado e ficará assim:
. Pronto! Agora está facinho de isolar a variável x, é só fazer isto e já era! Daí vc conhece o método de fatoração algébrico (superior ao numérico), que implica necessariamente na fórmula que não é de báscara, saberá resolver qualquer problema do 2º grau e poupará tempo com exercício picuinha.
Aqui vai um vídeo mto top do canal Gusalberto, o cara faz o que eu faço, mas numericamente, é exatamente isso o que vc quer!
http://www.youtube.com/watch?v=ogrTOEbJ6FAFlw!
"A solução errada para o problema certo é anos-luz melhor do que a solução certa para o problema errado." - Russell Ackoff
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por Matheus Lacombe O » Ter Jan 08, 2013 22:13
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por ant_dii » Ter Jan 08, 2013 23:46
Ah sim, me desculpe pelo deslize mas eu deveria ter continuado a resolução.
Acontece que (se entendi bem) você deseja (também) reescrever a equação do segundo grau dada como uma multiplicação de dois binômios, então isso pode ser feito por comparação e no fim será usado um sistema para resolver (e aí talvez more o problema, pois será necessário que o aluno "chute" valores). Deixa de delongas e vamos ver:
Dada a equação
, como encontrar as raízes sem usar a Fórmula de Bhaskara?
Uma saída é o método já mencionado e explicado (por nosso colega
Jhenrique - aliás, parabéns, ótima abordagem), a técnica de completar quadrado.
Outra ideia é fazer uma comparação, já que no produto
é fácil ver que as raízes são
e
.
Então,vejamos
de onde
e
Logo, temos o sistema
Neste momento será feita a pergunta: quais números cujo a soma é -3 e o produto é -4.
Veja que não é um método muito convencional, mas dele podemos perceber que o processo pode ficar simples (em alguns casos é claro) se sempre olharmos para os coeficientes do segundo termo e do terceiro termo.
Veja outra coisa que também possa lhe interessar (de um modo mais geral e que vale sempre)...
Dada a equação
, sabemos que suas raízes pode ser dada por Bhaskara fazendo
e
Se somarmos
com
, teremos
Ou seja, a soma das raízes de uma equação do segundo grau é o coeficiente b dividio pelo a com sinal negativo.
Se multiplicarmos
com
, teremos
Ou seja, se multiplicarmos as raízes de uma equação do segundo grau encontraremos que o valor é o coeficiente c dividido pelo coeficiente a.
Bom é isso. Espero que me desculpe pelo deslize de deixar explicado. Até mais...
Só os loucos sabem...
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ant_dii
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Assunto:
método de contagem
Autor:
sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 09:10
Veja este exercício:
Se A = {
} e B = {
}, então o número de elementos A
B é:
Eu tentei resolver este exercício e achei a resposta "três", mas surgiram muitas dúvidas aqui durante a resolução.
Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?
No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:
existe oposto de zero?
existe inverso de zero?
zero é par, certo?
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x?
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z?
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z?
A resposta é 3?
Obrigado.
Assunto:
método de contagem
Autor:
Molina - Seg Mai 25, 2009 20:42
Boa noite, sinuca.
Se A = {
} você concorda que n só pode ser de 1 a 20? Já que pertence aos naturais?
Ou seja, quais são os divisores de 20? Eles são seis: 1, 2, 4, 5, 10 e 20.
Logo, o conjunto A é
A = {1, 2, 4, 5, 10, 20}
Se B = {
} você concorda que x será os múltiplos de 5 (positivos e negativos)? Já que m pertence ao conjunto Z?
Logo, o conjunto B é
B = {... , -25, -20, -15, -10, -5, 0, 5, 10, 15, 20, 25, ...
Feito isso precisamos ver os números que está em ambos os conjuntos, que são:
5, 10 e 20 (3 valores, como você achou).
Vou responder rapidamente suas dúvidas porque meu tempo está estourando. Qualquer dúvida, coloque aqui, ok?
sinuca147 escreveu:No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:
existe oposto de zero? sim, é o próprio zero
existe inverso de zero? não, pois não há nenhum número que multiplicado por zero resulte em 1
zero é par, certo? sim, pois pode ser escrito da forma de 2n, onde n pertence aos inteiros
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x? Sim, pois basta pegar x e multiplicar por -1 que encontramos -x
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z? Sim, tais perguntando se todo número é multiplo de si mesmo
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z? Sim, pois basta pegar -z e multiplicar por -1 que encontramos x
A resposta é 3? Sim, pelo menos foi o que vimos a cima
Bom estudo,
Assunto:
método de contagem
Autor:
sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 23:35
Obrigado, mas olha só este link
http://www.colegioweb.com.br/matematica ... ro-natural
neste link encontra-se a a frase:
Múltiplo de um número natural é qualquer número que possa ser obtido multiplicando o número natural por 0, 1, 2, 3, 4, 5, etc.
Para determinarmos os múltiplos de 15, por exemplo, devemos multiplicá-lo pela sucessão dos números naturais:
Ou seja, de acordo com este link -5 não poderia ser múltiplo de 5, assim como 5 não poderia ser múltiplo de -5, eu sempre achei que não interessava o sinal na questão dos múltiplos, assim como você me confirmou, mas e essa informação contrária deste site, tem alguma credibilidade?
Há e claro, a coisa mais bacana você esqueceu, quero saber se existe algum método de contagem diferente do manual neste caso:
Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?
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