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[Equação do segundo grau]Resolvida por fatoração.

[Equação do segundo grau]Resolvida por fatoração.

Mensagempor Matheus Lacombe O » Sáb Jan 05, 2013 14:45

Olá pessoal! Desculpem interromper as férias de vocês, mas.. La vai..

- Voltei a resolver o "Matemática Paratodos 8º" e no capítulo sobre equações encontrei um dúvida. O livro coloca a seguinte questão (encontre o valorde 'x' para):

x+{(x+1)}^{2}=5

Resolução:

x+{x}^{2}+2x+1=5

{x}^{2}+3x-4=0

- O problema é o seguinte: Neste capítulo do livro, o aluno ainda não conhece a fórmula de Baskhara e esta estudando a resolução de equações do segundo grau apenas por fatoração (Isolando o fator comum ou determinando um trinômio quadrado perfeito, ou seja, produto notável que seja equivalente a expressão).

-Se eu tento resolver o produto notável (x+1)² e somo ele ao outro 'x', passando o '5' para este mesmo lado da igualdade (resultando em 'x²+3x-4=0'), não tenho mais como fatorar a equação (para usar a técnica do produto igual a zero). A não ser que eu já conheça as raizes da equação e aí então retroativamente estabeleça que:

(x-1)(x+4)=0

- O que por fatoração me parece a única forma de resolver a questão. Porém se eu chego a '-1' e '4' pela forma de baskhara em 'X²+3x-4' então esta resolção não fecha pq o aluno ainda não conhece a fórmula de baskhara.

Por favor alguém pode me dar uma luz? Se a multiplicação '(x-1)(x+4)' é a única fórma de resolver a equação sem usar baskhara, então como chegar a ela sem retroativamente usar baskhara para descobrir as raizes e estabelecer a multiplicação (afinal os números '-1' e '4' não saem do nada, não é mesmo? Existe uma técnica, não é?).

Grato, desde já. Abraços. Fui.
Matheus Lacombe O
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Re: [Equação do segundo grau]Resolvida por fatoração.

Mensagempor ant_dii » Sáb Jan 05, 2013 15:45

Bom...
Uma ideia é você usar a regra do completar quadrado.

Outra ideia é você fazer o seguinte: você tem uma equação do tipo ax^2+bx+c=0, então faça
ax^2+bx+c=(x-A)(x-B)

daí basta desenvolver o lado direito e encontra A e B.

Mas é importante você verificar que nem sempre esse método será possível (a não ser que eles tenham estudado números complexos).
Só os loucos sabem...
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Re: [Equação do segundo grau]Resolvida por fatoração.

Mensagempor sauloandrade » Sáb Jan 05, 2013 15:47

Certo, você fatorou certo e chegou em (x-1)(x+4)=0. Agora para que dois números multiplicados seja igual 0 um deles devem ser igual a zero ou os dois sejam zero, concorda? Então para que esse produto seja zero, temos quex-1=0 ou x+4=0. Resolvendox =1  ou  x = -4
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Re: [Equação do segundo grau]Resolvida por fatoração.

Mensagempor Jhenrique » Sáb Jan 05, 2013 16:29

Vc tem que usar a técnica chamada de "completar quadrado", a fórmula que não é de báscara baseia-se justamente nessa ideia. É irritante ver certos professores solucionando uma eq do 2º grau e chegar na fórmula q não é de báscara sem contar aos estudantes q o que ele fez foi completar o quadrado.

Seguinte... suponha a equação y=ax^2+bx+c , o que queremos é isolar a variável x , para isso vamos recorrer ao produto notável (A^2+2AB+B^2)=(A+B)^2. Aqui é sacada mais importante! Vc precisa dar um jeito de fazer isto: ax^2+bx+c ser semelhante a isto: (A^2+2AB+B^2) para daí poder tirar partido com a fatoração.

Olhando para: (A^2+2AB+B^2)=(A+B)^2 e substituindo A e B por x e k, veja como fica: (x^2+2kx+k^2)=(x+k)^2 , bem semelhante ao modelo da eq do 2º grau, não é mesmo? Agora vamos manipular o modelo para ficar mais semelhante ao produto notável...: x^2+\frac{b}{a}x+\frac{(c-y)}{a}=0 , pronto! Se identificarmos 2k=\frac{b}{a} então k^2 precisar ser \frac{b^2}{4a^2} . É fácil ver que a parcela invariável do modelo não é igual a k^2=\frac{b^2}{4a^2}, o que fazemos então é rearrumar a expressão para que seja possível a fatoração, portanto: x^2+\frac{b}{a}x+\frac{b^2}{4a^2}=-\frac{(c-y)}{a}+\frac{b^2}{4a^2} . Como k=\frac{a}{2b} , então podemos fatorar o modelo já todo modificado e ficará assim: (x+\frac{a}{2b})^2=-\frac{(c-y)}{a}+\frac{b^2}{4a^2} . Pronto! Agora está facinho de isolar a variável x, é só fazer isto e já era! Daí vc conhece o método de fatoração algébrico (superior ao numérico), que implica necessariamente na fórmula que não é de báscara, saberá resolver qualquer problema do 2º grau e poupará tempo com exercício picuinha.

Aqui vai um vídeo mto top do canal Gusalberto, o cara faz o que eu faço, mas numericamente, é exatamente isso o que vc quer! http://www.youtube.com/watch?v=ogrTOEbJ6FA

Flw!
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Re: [Equação do segundo grau]Resolvida por fatoração.

Mensagempor Matheus Lacombe O » Ter Jan 08, 2013 22:13

ant_dii: Entendi seu raciocíneo, mas não entendi como isso resolverá alguma coisa. Pois:

{x}^{2}+3x-4=(x+a)(x+b)

{x}^{2}+3x-4={x}^{2}+xb+xa+ab

{x}^{2}-{x}^{2}+3x-4={x}^{2}-{x}^{2}+xb+xa+ab

3x-4=xb+xa+ab

- Eu não sei se estou cometendo alguma gafe, mas pra mim não resolveu nada..

JHenrique: Fazia tempo que estava atrás disso! Realmente ajudou. Eu tentei aqui e realmente, funciona direitinho.

{x}^{2}+3x-4=0

{x}^{2}+3x_=4

Como:

2ax=3x

\frac{2ax}{x}=\frac{3x}{x}

2a=3

a=\frac{3}{2}

e: {x}^{2}+2ax-{a}^{2}=0

logo:

{x}^{2}+3x+{\left(\frac{3}{2}\right)}^{2}=4+{\left(\frac{3}{2}\right)}^{2}

{x}^{2}+3x+\frac{9}{4}=4+\frac{9}{4}

{x}^{2}+3x+\frac{9}{4}=\frac{16}{4}+\frac{9}{4}

{x}^{2}+3x+\frac{9}{4}=\frac{25}{4}

{\left(x+\frac{3}{2}\right)}^{2}=\frac{25}{4}

x+\frac{3}{2}=\sqrt[]{\frac{25}{4}}

x+\frac{3}{2}=\frac{\sqrt[]{25}}{\sqrt[]{4}}}

para: x+\frac{3}{2}=\frac{5}{2}

x=\frac{5}{2}-\frac{3}{2}

x=\frac{2}{2}

{x}^{'}=1

para: x+\frac{3}{2}=-\frac{5}{2}

x=-\frac{5}{2}-\frac{3}{2}

x=-\frac{8}{2}

{x}''}=-4


- Só fico meio em dúvida se era bem isso que o livro pedia. Mas de qualquer forma, já acrescentou ao meu conhecimento. ^^

- Obrigado a todos que contribuíram com este tópico. Um abraço e até.
Matheus Lacombe O
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Re: [Equação do segundo grau]Resolvida por fatoração.

Mensagempor ant_dii » Ter Jan 08, 2013 23:46

Matheus Lacombe O escreveu:ant_dii: Entendi seu raciocíneo, mas não entendi como isso resolverá alguma coisa. Pois:

{x}^{2}+3x-4=(x+a)(x+b)

{x}^{2}+3x-4={x}^{2}+xb+xa+ab

{x}^{2}-{x}^{2}+3x-4={x}^{2}-{x}^{2}+xb+xa+ab

3x-4=xb+xa+ab

- Eu não sei se estou cometendo alguma gafe, mas pra mim não resolveu nada..


Ah sim, me desculpe pelo deslize mas eu deveria ter continuado a resolução.

Acontece que (se entendi bem) você deseja (também) reescrever a equação do segundo grau dada como uma multiplicação de dois binômios, então isso pode ser feito por comparação e no fim será usado um sistema para resolver (e aí talvez more o problema, pois será necessário que o aluno "chute" valores). Deixa de delongas e vamos ver:

Dada a equação {x}^{2}+3x-4=0, como encontrar as raízes sem usar a Fórmula de Bhaskara?
Uma saída é o método já mencionado e explicado (por nosso colega Jhenrique - aliás, parabéns, ótima abordagem), a técnica de completar quadrado.
Outra ideia é fazer uma comparação, já que no produto (x-A)(x-B)=0 é fácil ver que as raízes são A e B.
Então,vejamos
{x}^{2}+3x-4=(x-A)(x-B) \Rightarrow \\\Rightarrow x^2+3x-4=x^2-Bx-Ax+AB \Rightarrow \\\Rightarrow x^2+3x-4=x^2-(B+A)x+AB
de onde
3x=-(B+A)x  \Rightarrow -3=B+A
e
-4=AB

Logo, temos o sistema
\left\{\begin{array}{l}
-3=B+A\\
-4=AB
\end{array}\right

Neste momento será feita a pergunta: quais números cujo a soma é -3 e o produto é -4.

Veja que não é um método muito convencional, mas dele podemos perceber que o processo pode ficar simples (em alguns casos é claro) se sempre olharmos para os coeficientes do segundo termo e do terceiro termo.

Veja outra coisa que também possa lhe interessar (de um modo mais geral e que vale sempre)...
Dada a equação ax^2+bx+c=0, sabemos que suas raízes pode ser dada por Bhaskara fazendo

x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}

e
x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}

Se somarmos x_1 com x_2, teremos

x_1+x_2=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}+\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}  \Rightarrow x_1+x_2=\frac{-2b}{2a}   \Rightarrow \\  \Rightarrow x_1+x_2=\frac{-b}{a}

Ou seja, a soma das raízes de uma equação do segundo grau é o coeficiente b dividio pelo a com sinal negativo.

Se multiplicarmos x_1 com x_2, teremos

x_1 \cdot x_2=\left(\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\right) \cdot \left( \frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\right) \Rightarrow \\ \\ \Rightarrow x_1 \cdot x_2=\frac{b^2-(b^2-4ac)}{4a^2}   \Rightarrow x_1 \cdot x_2=\frac{c}{a}

Ou seja, se multiplicarmos as raízes de uma equação do segundo grau encontraremos que o valor é o coeficiente c dividido pelo coeficiente a.

Bom é isso. Espero que me desculpe pelo deslize de deixar explicado. Até mais...
Só os loucos sabem...
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Assunto: dúvida em uma questão em regra de 3!
Autor: leandro moraes - Qui Jul 01, 2010 12:41

pessoal eu achei como resultado 180 toneladas,entretanto sei que a questão está erra pela lógica e a resposta correta segundo o gabarito é 1.800 toneladas.
me explique onde eu estou pecando na questão. resolva explicando.

78 – ( CEFET – 1993 ) Os desabamentos, em sua maioria, são causados por grande acúmulo de lixo nas encostas dos morros. Se 10 pessoas retiram 135 toneladas de lixo em 9 dias, quantas toneladas serão retiradas por 40 pessoas em 30 dias ?


Assunto: dúvida em uma questão em regra de 3!
Autor: Douglasm - Qui Jul 01, 2010 13:16

Observe o raciocínio:

10 pessoas - 9 dias - 135 toneladas

1 pessoa - 9 dias - 13,5 toneladas

1 pessoa - 1 dia - 1,5 toneladas

40 pessoas - 1 dia - 60 toneladas

40 pessoas - 30 dias - 1800 toneladas


Assunto: dúvida em uma questão em regra de 3!
Autor: leandro moraes - Qui Jul 01, 2010 13:18

pessoal já achei a resposta. o meu erro foi bobo rsrsrrs errei em uma continha de multiplicação, é mole rsrsrsr mas felizmente consegui.


Assunto: dúvida em uma questão em regra de 3!
Autor: leandro moraes - Qui Jul 01, 2010 13:21

leandro moraes escreveu:pessoal já achei a resposta. o meu erro foi bobo rsrsrrs errei em uma continha de multiplicação, é mole rsrsrsr mas felizmente consegui.

valeu meu camarada.