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Equação Polinomial

Equação Polinomial

Mensagempor Flavio Cacequi » Seg Jun 11, 2018 16:39

Dada a equação 4x^4-ax^3+bx^2-cx+d=0 de raízes x1,x2;x3;x4, positivas tal que:x1/2+x2/4+x3/5+x4/8=1.Calcule a maior raiz.
a)1/2
b)1
c)2
d)7/3
e)5/4

r:c
Flavio Cacequi
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Re: Equação Polinomial

Mensagempor DanielFerreira » Sex Set 13, 2019 21:42

Flavio Cacequi escreveu:Dada a equação 4x^4-ax^3+bx^2-cx+d=0 de raízes x1,x2;x3;x4, positivas tal que:x1/2+x2/4+x3/5+x4/8=1.Calcule a maior raiz.
a)1/2
b)1
c)2
d)7/3
e)5/4

r:c


\\ \mathsf{\frac{x_1}{2} + \frac{x_2}{4} + \frac{x_3}{5} + \frac{x_4}{8} = 1} \\\\ \mathsf{20x_1 + 10x_2 + 8x_3 + 5x_4 = 40} \\\\ \mathsf{(5x_1 + 5x_2 + 5x_3 + 5x_4) + 15x_1 + 5x_2 + 3x_3 = 40} \\\\ \mathsf{(5x_1 + 5x_2 + 5x_3 + 5x_4) + (3x_1 + 3x_2 + 3x_3) + 12x_1 + 2x_2 = 40} \\\\ \mathsf{(5x_1 + 5x_2 + 5x_3 + 5x_4) + (3x_1 + 3x_2 + 3x_3) + (2x_1 + 2x_2) + 10x_1 = 40} \\\\ \mathsf{5 \cdot (x_1 + x_2 + x_3 + x_4) + 3 \cdot (x_1 + x_2 + x_3) + 2 \cdot (x_1 + x_2) + 10x_1 = 40 \qquad \qquad \qquad (i)}


Suponha que:

\bullet \quad \mathsf{x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 4}

\bullet \quad \mathsf{x_1 + x_2 + x_3 = 3}

\bullet \quad \mathsf{x_1 + x_2 = 2}

\bullet \quad \mathsf{x_1 = 1}


Substituindo esses supostos 'valores' na equação \mathsf{(i)},

\\ \mathsf{5 \cdot 4 + 3 \cdot 3 + 2 \cdot 2 + 10 \cdot 1 = 40} \\\\ \mathsf{20 + 9 + 4 + 10 = 40} \\\\ \mathsf{43 = 40}

O que é um absurdo! No entanto, ficou fácil notal que devemos subtrair três unidades de 43 para que a igualdade seja satisfeita. Desse modo, devemos reduzir \mathsf{(x_1 + x_2 + x_3)} para 2, em vez de 3.

Daí, temos que:

\bullet \quad \mathsf{x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = \boxed{\mathsf{4}}}

\bullet \quad \mathsf{x_1 + x_2 + x_3 = \boxed{\mathsf{2}}}

\bullet \quad \mathsf{x_1 + x_2 = \boxed{\mathsf{2}}}

\bullet \quad \mathsf{x_1 = \boxed{\mathsf{1}}}


Por fim, resolvendo o sistema

\begin{cases} \mathsf{x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 4} \\ \mathsf{x_1 + x_2 + x_3 = 2} \\ \mathsf{x_1 + x_2 = 2} \\ \mathsf{x_1 = 1} \end{cases}


Concluímos que as raízes são \boxed{\boxed{\mathsf{S = \left \{ x_1, x_2, x_3, x_4 \right \} = \left \{ 0, 1, 2\right \}}}}, onde 1 tem multiplicidade dois!!
"Sabedoria é saber o que fazer;
habilidade é saber como fazer;
virtude é fazer."
(David S. Jordan)
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Assunto: Taxa de variação
Autor: felipe_ad - Ter Jun 29, 2010 19:44

Como resolvo uma questao desse tipo:

Uma usina de britagem produz pó de pedra, que ao ser depositado no solo, forma uma pilha cônica onde a altura é aproximadamente igual a 4/3 do raio da base.
(a) Determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da base.
(b) Se o raio da base varia a uma taxa de 20 cm/s, qual a razão de variação do volume quando o raio mede 2 m?

A letra (a) consegui resolver e cheguei no resultado correto de \frac{4\pi{r}^{2}}{3}
Porem, nao consegui chegar a um resultado correto na letra (b). A resposta certa é 1,066\pi

Alguem me ajuda? Agradeço desde já.


Assunto: Taxa de variação
Autor: Elcioschin - Qua Jun 30, 2010 20:47

V = (1/3)*pi*r²*h ----> h = 4r/3

V = (1/3)*pi*r²*(4r/3) ----> V = (4*pi/9)*r³

Derivando:

dV/dr = (4*pi/9)*(3r²) -----> dV/dr = 4pi*r²/3

Para dr = 20 cm/s = 0,2 m/s e R = 2 m ----> dV/0,2 = (4*pi*2²)/3 ----> dV = (3,2/3)*pi ----> dV ~= 1,066*pi m³/s


Assunto: Taxa de variação
Autor: Guill - Ter Fev 21, 2012 21:17

Temos que o volume é dado por:

V = \frac{4\pi}{3}r^2


Temos, portanto, o volume em função do raio. Podemos diferenciar implicitamente ambos os lados da equação em função do tempo, para encontrar as derivadas em função do tempo:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.r}{3}.\frac{dr}{dt}


Sabendo que a taxa de variação do raio é 0,2 m/s e que queremos ataxa de variação do volume quando o raio for 2 m:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.2}{3}.\frac{2}{10}

\frac{dV}{dt} = \frac{16\pi}{15}