[P.I.F]Principio de Indução Finita

por **holandaleo** » Sáb Fev 13, 2016 18:48

Olá a todos, alguém pode me ajudar com a resolução dessa questão que envolve PIF?

-Demonstrar a seguinte preposição;

$x+{x}^{2}+{x}^{3}+{x}^{4}...{x}^{n}=\frac{{1-x}^{n+1}}{1-x}[para ] n\geq1,x\neq1$

por **adauto martins** » Qui Fev 25, 2016 21:31

soma dos termos de uma PG finita de razao,q=x...
${S}_{n}=({a}_{1}({q}^{n}-1))/(q-1)$ ...a questao apresentada nao esta correta,pois:
$S=x.({x}^{n}-1))/(x-1)=x.(1-{x}^{n})/(1-x)=(x-{x}^{n+1})/(1-x)\neq (1-{x}^{n+1})/(1-x)$ ...
logo $S=x+{x}^{2}+...+{x}^{n}=x.(1-{x}^{n+1})/(1-x),p/x\neq 1,[\tex]$ $n\succeq 0$ ...vamos á prova por induçao...
$p/n=0...S=x.(1-{x}^{0+1})/(1-x)=x.(1-x)/(1-x)=x... p/n=1...S=x.(1-{x}^{1+1})/(1-x)=x.(1-{x}^{2})/(1-x)=x.(1+x)(1-x)/(1-x)=x.(x+1)=x+{x}^{2}$ ...
vamos supor p/ n=k...

, ou seja $S=x.(1-{x}^{k+1})/(1-x)$ verdadeira...entao...
p/ n=k+1

,teriamos...
$S=x.(1-{x}^{(k+1)+1})/(1-x)=x.(1-{x}^{k+2})/(1-x)=x.(1-x).(1+{x}^{k+1})/(1-x)=x.(1+{x}^{(k+1)})=x+{x}^{2}+...+{x}^{k}+{x}^{k+1}$

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