[Resolução de equações polinomiais]

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[Resolução de equações polinomiais]

Mensagempor ZANGARO » Qui Fev 27, 2014 21:16

Olá, estou com esse sistema para resolver:

u=x^2+y^2
v=xy

Tenho quase certeza que é bem simples, porém eu sei que estou errando, após as devidas substituições,nesta passagem...

v^2+y^4=u

A partir daqui eu não consigo encontrar a solução de y em função de u e v.
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Re: [Resolução de equações polinomiais]

Mensagempor Russman » Sex Fev 28, 2014 14:23

Tomando x^2 = \frac{v^2}{y^2}, temos

u-x^2 = y^2 \Rigtharrow u - \frac{v^2}{y^2} = y^2

Manipulando, obtemos a equação biquadrática

y^4 - uy^2 + v^2 = 0

de onde

y = \pm \sqrt{\frac{u \pm \sqrt{u^2-4v^2}}{2}}.
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(UNESP - 95) Seja L o Afixo de um Número complexo a=\sqrt{8}+ i em um sistema de coordenadas cartesianas xOy. Determine o número complexo b , de módulo igual a 1 , cujo afixo M pertence ao quarto quadrante e é tal que o ângulo LÔM é reto.

Assunto: Unesp - 95 Números Complexos
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Seja \alpha o ângulo entre o eixo horizontal e o afixo a. O triângulo é retângulo com catetos 1 e \sqrt{8}, tal que tg \alpha = \frac{1}{sqrt{8}}. Seja \theta o ângulo complementar. Então tg \theta = \sqrt{8}. Como \alpha + \theta = \frac{\pi}{2}, o ângulo que o afixo b formará com a horizontal será \theta, mas negativo pois tem de ser no quarto quadrante. Se b = x+yi, então \frac{y}{x} = \sqrt {8} \Rightarrow y = x\sqrt{8}. Como módulo é um: |b| = \sqrt { x^2 + y^2 } = 1 \Rightarrow x^2 + y^2 = 1 \Rightarrow x^2 + 8x^2 = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{3} \Rightarrow y = \frac{\sqrt{8}}{3}.

Logo, o afixo é b = \frac{1 + i\sqrt{8}}{3}.

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