Sistema de Equações exponenciais (iezzi)

por **BrunoLima** » Ter Nov 26, 2013 16:05

Galera Dá uma luz aqui por favor,

$2^{2(x^2-y)}=100*5^{2(y-x^2)} x+y=5$

Então eu tentei substituir direto na equação, o x por 5-y, e depois substituir.. só que não deu muito certo.. alguém indica por onde eu começo?

por **e8group** » Ter Nov 26, 2013 22:29

Tome $\zeta := y-x^2$ ,substituindo-se esta relação na equação , obtemos

$2^{-2\zeta} = 100\cdot 5^{2\zeta}$ ou ainda multiplicando-se esta igualdade por $2^{2\zeta}$ ,

$1 = 100 \cdot 5^{2\zeta} \cdot 2^{2\zeta} = 5^2 \cdot 2^2 \cdot 5^{2\zeta} \cdot 2^{2\zeta} = 5^{2\zeta + 2} \cdot 2^{2\zeta + 2} = 10^{2\zeta +2 }$ .

Agora tente concluir .

por **PedroCunha** » Ter Nov 26, 2013 22:44

Veja:

$\\ \begin{cases} 2^{2(x^2 - y)} = 100 \cdot 5^{2(y - x^2)} \dots I \\ x + y = 5 \dots II \end{cases} \\\\ \circ \,\, I: 2^{2x^2 - 2y} = 100 \cdot 5^{2y - 2x^2} \therefore 2^{2x^2 - 2y} = 100 \cdot \frac{1}{5^{2x^2 - 2y}} \therefore \\\\ 2^{2x^2-2y} \cdot 5^{2x^2-2y} = 100 \therefore 10^{2x^2-2y} = 10^2 \therefore 2x^2 - 2y = 2 \therefore x^2 - y = 1 \therefore \\\\ y = x^2 -1 \\\\ \circ \,\, II: x + x^2 - 1 = 5 \therefore x^2 + x - 6 = 0 \rightarrow \begin{cases} x_1 = \frac{-1 + 5}{2} \therefore x_1 = 2 \\\\ x_2 = \frac{-1 - 5}{2} \therefore x_2 = -3 \end{cases} \\\\ \\ \rightarrow \begin{cases} y_1 = (2)^2 - 1 \therefore y_1 = 3 \\ y_2 = (-3)^2 - 1 \therefore y_2 = 8 \end{cases} \\\\ \boxed{\boxed{S \{(2,3), (-3,8)\}}}$

Qualquer dúvida é só falar.

Att.,
Pedro

por **BrunoLima** » Ter Nov 26, 2013 23:02

Pedro muito boa sua resolução muito obrigado mais uma vez , as suas resoluções sempre me fazem pensar, ''Cara, como que eu não pensei nisso'' ^^...
Santhiago, tentei resolver o que você me deixou, mas não consegui, a unica coisa que me veio a cabeça foi dividir por um do dois termos a esquerda.. o que,creio eu não ajudaria em nada.. poderia indicar o caminho (mais ainda), para que eu tente resolver da sua maneira?