Equacão exponencial

por **anneliesero** » Ter Jul 23, 2013 23:47

Olá, pessoal

nesta questão alguém pode explicar como cortou os números e letras me confundi toda neste cálculo.

Questão:

${3}^{x}+\frac{1}{{3}^{x}}=\frac{4\sqrt[2]{3}}{3}$

Desenvolvimento:

I) [tex]\frac{4\sqrt[]{3}+- ({-4\sqrt[]{3y})}^{2} -4.3{y}^{2}.3}{6{y}^{2}}

II) [tex]\frac{4\sqrt[]{3y}+-16\sqrt[]{9y}-36}{6}

III) [tex]\frac{4\sqrt[]{3y}+-\sqrt[]{9.16y}-36}{6}

IV) [tex]\frac{4\sqrt[]{3y}+-\sqrt[]{3.4y}-1}{6}

V) [tex]\frac{4\sqrt[]{3y}+-2\sqrt[]{3y}-1}{6}

VI) [tex]\frac{4\sqrt[]{3}+-2\sqrt[]{3}-1}{6}

O que posso ter errado no desenvolvimento da questão? Sendo que a resposta é [tex]\sqrt[]{3} OU [tex]\frac{\sqrt[]{3}}{3}?
Agradeço quem ajudar!

por **Russman** » Qua Jul 24, 2013 00:36

Não consegui entender seu desenvolvimento. Mas como você o tentou postar vou te ajudar. Veja que pra postar no formato TeX você tem que fechar a caixa [ tex]com [/ tex] .

Vamos a equação.

O primeiro passo é retirar o 3^x

, que é a incógnita, do denominador. Para facilitar a notação tome 3^x = y

de modo que uma vez calculado

podemos conhecer

. Assim,

$3^x + \frac{1}{3^x} = \frac{4\sqrt{3}}{3} \Rightarrow y+\frac{1}{y} = 4.3^{-\frac{1}{2}} \Rightarrow y^2 + 1 = \frac{4}{\sqrt{3}}y$

No segundo passo tomamos $\sqrt{3} = 3^{1/2}$ de modo que $\frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{3^{1/2}}{3} = 3^{\frac{1}{2} - 1} = 3^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Prosseguindo, chegamos a equação

$y^2 + 1 = \frac{4}{\sqrt{3}}y \Rightarrow y^2 - \frac{4}{\sqrt{3}}y +1 = 0$

que, via solução de equações de 2° grau, tem soluções

$y = \sqrt{3}$

ou

$y = \frac{1}{\sqrt{3}}$ .

Como y = 3^x

, então $x = \pm \frac{1}{2}$ .

Entende?

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