[Descobrir equação pela raiz]

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[Descobrir equação pela raiz]

Mensagempor Mayra Luna » Qua Nov 21, 2012 17:59

Qual das equações a seguir admite o número \sqrt[3]{4 + \sqrt{5}} como raiz?
A) x^6 - 8x^3 + 1 = 0
B)x^6 - 8x^3 + 9 = 0
C)x^6 - 8x^3 + 11 = 0
D)x^6 - 8x^3 + 12 = 0
E)x^6 - 8x^3 + 20 = 0

Oi, gente!
A resposta é letra C, mas como começo a resolução?
Mayra Luna
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Re: [Descobrir equação pela raiz]

Mensagempor e8group » Qua Nov 21, 2012 19:46

Seja , p(x) uma função , em particular para x = \sqrt[3]{4 + \sqrt{5}} temos que p(x) = 0 , isto é ,

x = \sqrt[3]{4 + \sqrt{5}} \iff x^3 = (\sqrt[3]{4 + \sqrt{5}})^3 \iff x^3 - 4 = ( 4 + \sqrt{5}}) - 4 \iff x^3 - 4 = \sqrt{5} \iff (x^3 - 4)^2 = \sqrt{5} ^2 \iff x^6 - 8x^3 + 16 - 5 = 5 -5 \iff x^6 - 8x^3 +11 = 0 .

Podemos dizer que x^6 - 8x^3 +11 = 0 é equação equivalente a primeira , se e somente se x = \sqrt[3]{4 + \sqrt{5}}

Editado .
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Re: [Descobrir equação pela raiz]

Mensagempor Mayra Luna » Qua Nov 21, 2012 21:10

Entendi. Muito obrigada!!!
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Seja \alpha o ângulo entre o eixo horizontal e o afixo a. O triângulo é retângulo com catetos 1 e \sqrt{8}, tal que tg \alpha = \frac{1}{sqrt{8}}. Seja \theta o ângulo complementar. Então tg \theta = \sqrt{8}. Como \alpha + \theta = \frac{\pi}{2}, o ângulo que o afixo b formará com a horizontal será \theta, mas negativo pois tem de ser no quarto quadrante. Se b = x+yi, então \frac{y}{x} = \sqrt {8} \Rightarrow y = x\sqrt{8}. Como módulo é um: |b| = \sqrt { x^2 + y^2 } = 1 \Rightarrow x^2 + y^2 = 1 \Rightarrow x^2 + 8x^2 = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{3} \Rightarrow y = \frac{\sqrt{8}}{3}.

Logo, o afixo é b = \frac{1 + i\sqrt{8}}{3}.

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