[Questão] Numero primo

por **iuggui** » Ter Mai 29, 2018 20:42

Número primo
[...]
Para todo primo p seja p# o produto de todos os números
primos q inferiores ou iguais a p. De acordo com a terminologia
empregada por Dubner (1987), p# é chamado o primorial de p.[...]

Dadas as afirmativas sobre primoriais de números primos,
considerando estritamente a definição e a simbologia
estabelecidas no texto,
I. O primorial de um número primo é um número primo.
II. Se p é um número primo maior que 2, a soma dos algarismos
do número p# + 3 é um número múltiplo de 3.
III. 8# = 2x3x5x7 = 210.
verifica-se que está(ão) correta(s)
A) I, II e III.
B) I e III, apenas.
C) I e II, apenas.
D) III, apenas.
E) II, apenas.

por **DanielFerreira** » Qui Mai 31, 2018 11:46

Olá Iuggui, seja bem-vindo(a)!

Na afirmativa I, entendo que seja FALSA, pois de acordo com o texto, $\mathbf{p\# }$ (primordial) é o produto dos números primos menores ou iguais a $\mathsf{p}$ . Assim, como exemplo, podemos tomar qualquer primo. Seja $\mathsf{p = 5}$ , daí,

$\\ \mathsf{p\# = 2 \cdot 3 \cdot 5} \\\\ \mathsf{p\# = 30}$

Como pode notar, 30 não é primo!

Quanto à afirmativa II, VERDADEIRA. Veja:

Se $\mathsf{p}$ é um primo maior que 3, então o primordial $\mathsf{(p\#)}$ será um múltiplo de 3, com efeito, $\mathsf{p\# + 3}$ também será múltiplo de 3.

$\mathsf{\forall \ p \geq 3, \ onde \ p \ \acute{e} \ primo, \ \exists \ q \in \mathbb{N}; \ p\# = 3 \cdot q}$

Portanto,

$\\ \mathsf{p\# = 3 \cdot q} \\\\ \mathsf{p\# + 3 = 3q + 3} \\\\ \mathsf{p\# + 3 = 3 \cdot \underbrace{\mathsf{(q + 1)}}_{\in \mathbb{N}}}$

Isto é, $\mathsf{p\# + 3}$ , de fato, é um múltiplo de 3. Logo, temos que a soma de seus algarismos é múltiplo de 3 (regra de divisibilidade por 3).

Por fim, a afirmativa III:

$\\ \mathsf{8\# = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 210}$

Ou seja, VERDADEIRA!

Não tenho dúvidas que as afirmativas II e III sejam verdadeiras, no entanto, não há essa opção! Com isso, considero a alternativa A)...

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