Deixe
.
Proposta 1 :Alguns resultados uteis :
(i)
Se
é uma raiz de
então existe um polinômio de grau 3 tal que o seu produto por
dá
. Descobrindo-se uma raiz deste polinômio de grau 3 , o processo contínua ... obterá um polinômio de grau 2 tal que seu produto por
dá exatamente este polinômio de grau 3 . O método termina quando o polinômio não admitir raízes reais .
De forma pratica , estes polinômios de grau menor que o polinômio original em estudo pode ser obtido por sua divisão pelo termo
. A titulo de exemplificar ,
é exatamente
. Dividindo
por
obterá
, encontrando as raízes deste polinômio tem-se ele escrito na forma fatorada
.Juntando tudo tem-se
.
(ii)
Lemma :
Seja
com
e
. Suponha que
é uma
raiz inteira deste polinômio , então
divide
.
De fato :
Por hip.
o que implica que
o que implica que
. Desde que
, então
Dentro da
proposta 1 vamos usar (ii) para investigar se
admite uma raiz inteira .
Suponha que exista
inteiro t.q ,
, como todos os coef. de
são positivos , então só pode ser
. Pergunta : Quais os divisores negativos de
?
Analisando os casos possíveis -1,-3,-9 obterá que
.
Portanto
é uma raiz de
. Dividindo
por
obterá
.
Podemos também supor que exista
inteiro t.q
raiz de
. Logo
divide
(note que r < 0 )
Tem-se que
. Dividindo-se
por
obterá
. Como
não admite raízes reais então o processo finaliza-se e tem-se a forma fatorada requerida .
Proposta 2 Dado um polinômio
de grau
,
e que se sabe que
é a sua raiz . Escreveremos
sob a seguinte forma
onde
são polinômios tais que
compartilham a mesma raiz real
, i.e ,
e além disso eles cumprem com
. A vantagem é que alguns dos
certamente possuem grau menor que n (possa ser que todos q_i possuem grau n ) o que facilita determinar outra raiz de cada polinômio .
Seja
. Usando (ii) descobre-se que
. E segue que
. Verifica-se que
(com multiplicidade 2) é raiz de
logo também o é de
, mas !
e com isso ganhamos que
.
Vai de cada um ...
Pode-se surgi mais n propostas de solução .