exercicio resolvido

por **adauto martins** » Qui Mai 13, 2021 15:49

(ITA-1953)demonstrar que o resto,na divisao de uma soma por um numero,é o resto das somas dos restos das parcelas.
deduzir que um numero é divisivel por 9 quando,e somente quando,a soma dos seus algarismo for divisivel por 9.

por **adauto martins** » Qui Mai 13, 2021 16:28

soluçao

seja soma dos ${a}_{i},i\in N...$ dividindo p,um numero qualquer...

$D=({a}_{n}+{a}_{n-1}+...{a}_{1}+{a}_{0})/p= ({a}_{n}/p)+({a}_{n-1}/p)+...({a}_{1}/p)+({a}_{0}/p)...$

usando divisao eucliana,teremos

$\exists q/(a/p)=p.q+r$

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$D=(p.{q}_{n}+{r}_{n})+(p.{q}_{n-1}+{r}_{n})+...+p.{q}_{0}+{r}_{0}) =p.({q}_{n}+...{q}_{0})+({r}_{n}+...+{r}_{0})=p.Q+R... R=({r}_{n}+...+{r}_{0})...$

seja N um multiplo de 9,entao $N=9.k...k\in Z...$

podemos escrever N,como

$N={a}_{n}.{10}^{n}+...+{a}_{0}.{10}^{0}$

onde os ${a}_{n}\in (0,1,...,9)$ sao os alarismo de N, na base decimal(base 10)...
$N={a}_{n}{a}_{n-1}...{a}_{0}$

fazendo,como exemplo $1000={10}^{4}=(9999+1)={9}^{4}+1...$
teremos

$N={a}_{n}.{10}^{n}+...+{a}_{1}.{10}^{1}+{a}_{0}{10}^{0} ={a}_{n}.({9}^{n}+1)+...+{a}_{1}.({9}^{1}+1)+{a}_{0}.1 =({a}_{n}.{9}^{n}+{a}_{n})+...+({a}_{1}.{9}^{1}+{a}_{1})+{a}_{0} =({a}_{n}.{9}^{n}+...+9)+({a}_{n}+...+{a}_{1}+{a}_{0}) =9.({9}^{n-1}+...+1)+({a}_{n}+...+{a}_{0}) =9.p+({a}_{n}+...+{a}_{0})$

como N=9.k,teremos

$({a}_{n}+...+{a}_{0})=9(k-p)=9.n...$

por **adauto martins** » Qua Jun 09, 2021 10:50

uma correçao

1000=999+1=9.10^2+9.10+9+1=9.(10^2+10+1)+1

$N={a}_{n}10^n+...+{a}_{1}.10^1+{a}_{0}.10^0 N={a}_{n}(9.((10^{n-1})+...+1))+{a}_{n-1}...+{a}_{1}(9+1)+a_0 N=9.({a}_{n}10^{n-1})+...+9({a}_{n-1})+...+9.{a}_{1}+(a_n+...+a_0) N=9.p+({a}_{n}+...+a_0) 9.(k-p)=a_n+...+a_0\Rightarrow a_n+...+a_0=9.n$

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