[Aritmética] Não consigo resolver

por **douglasmacbrito** » Ter Mar 26, 2013 14:07

5) Um móvel percorre 30 km na primeira hora, 26 km na segunda hora e assim por diante em progressão aritmética. Para percorrer 120 km gastará
a) 5h
b) 6h
c) 7h
d) 8h
e) 10h
Gabarito

Eu não estou conseguindo resolver esse problema.

(30, 26, 22, ...)
a1= 30;
a2 = 26;
r = -4;
an = 120;
n = ?

an = a1 + (n-1).r
a120 = 30 + (120-1).(-4)
a120 = 30 + 119.(-4)
a120 = 30 - 476
a120 = -446

Eu tento continuar assim e nunca dá certo, estou ficando louco já com isso. Não quero desistir. Quero aprender como resolver pra poder entender melhor o processo.

Eu repensei aqui, e vi que a120 está incorreto porque não quer achar o a120 e sim achar qual a sequência das somas dos termos que dará 120km. Mais não consigo desenvolver o exercício.

por **nakagumahissao** » Ter Mar 26, 2013 14:58

Veja bem, o móvel percorreu 30 km na primeira hora, 26 km na segunda hora e assim por diante em PA. Veja que a pergunta feita, solicita que você encontre o tempo total para percorrer 120 km. Repare que todos os dados são em km (30, 26,...) e em um determinado momento a SOMA total dos quilômetros percorridos deverá atingir 120 km.

O erro foi em considerar n = 120 km, pois neste caso, n é o tempo. Assim:

${a}_{1}= 30$

r = -4

Equação I:
${S}_{n} = 120 = n\frac{({a}_{1} + {a}_{n})}{2}\Rightarrow240 = n\ (30 + {a}_{n})$

Temos uma equação com duas variáveis aqui. Precisaremos eliminar um deles. Lembramos que:

${a}_{n} = {a}_{1} + (n - 1)r$

e

${a}_{n} = 30 + (n - 1)(-4) = 30 - 4n + 4$

Substituindo o resultado acima na Equação I, teremos

$240 = n\ (30 + {a}_{n}) \Rightarrow 240 = n(30 + 30 - 4n + 4 ) \Rightarrow 240 = 64n - 4n^{2} \Rightarrow$

$\Rightarrow 4n^{2} - 64n + 240 = 0 \Rightarrow n^{2} - 16n + 60 = 0 \Rightarrow n = 6\;ou\;n=10$

Agora raciocinemos um pouco. Se:

$n = 6 \Rightarrow {a}_{6} = 30 + (6 - 1)(-4) = 10$

e

$n = 10 \Rightarrow {a}_{10} = 30 + (10 - 1)(-4) = -6$

Assim, não iremos considerar quilometragens negativas e aceitar que o tempo necessário será de 6 Horas. Portanto a resposta será (b) = 6 h