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[Questão de concurso] Teoria dos números

[Questão de concurso] Teoria dos números

Mensagempor willmorais » Ter Fev 09, 2016 14:36

Boa tarde,

Eu sou da área de humanas, então tenho muita dificuldade em questões de matemática. Se puderem me ajudar a responder a questão abaixo, agradeço. Pelo menos explicar como vou excluindo as alternativas, pois eu não sei por onde começar. Obrigado!

(UFES 2013) 12ª QUESTÃO - Sejam x e y números reais positivos. Pode-se garantir que:
A) Não existem x e y irracionais tais que x^2 − y é racional.
B) Existem x inteiro e y racional tal que x − y é irracional.
C) Para todo x racional e para todo y irracional, tem-se que x − y^2 é racional.
D) Se x e y são inteiros e x ⋅ y é divisível por um número inteiro z, então x é divisível por z ou y é divisível
por z.
E) Para todo x racional e para todo y irracional, tem-se que x^2 + \sqrt[]{y} é irracional.
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Re: [Questão de concurso] Teoria dos números

Mensagempor e8group » Qua Fev 10, 2016 11:27

(a) Falsa . Basta escolher qualquer número irracional m (e.g. m = \sqrt{2} ) .Ora , y = |m | e x = \sqrt{ |m| } são irracionais tais que x^2 - y = 0  \in \mathbb{Q}

(b) Falsa . Basta notar que \mathbb{Q} é fechado com respeito a soma e multiplicação ( i.e. \forall r,q  (r,q \in \mathbb{Q} \implies  r+q \in \mathbb{Q} \wedge r \cdot q \in \mathbb{Q} ) e que todo número inteiro é racional .

(c) Falsa : Tome por exemplo x = 0  , y = \sqrt[4]{2}

(d) Falsa : Seria verdadeira sse tais inteiros fossem coprimos . Exemplo 6 não divide 14 e 15 mas divide 14 \cdot 15
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Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: scggomes - Sex Fev 18, 2011 10:38

Olá ! Tenho essa dúvida e não consigo montar o problema para resolução:

Qual é o racional não nulo cujo o quadrado é igual à sua terça parte ?

Grata.


Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: MarceloFantini - Sex Fev 18, 2011 12:27

x^2 = \frac{x}{3}


Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: scggomes - Sex Fev 18, 2011 12:55

também pensei que fosse assim, mas a resposta é \frac{1}{3}.

Obrigada Fantini.


Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: MarceloFantini - Sex Fev 18, 2011 13:01

x^2 = \frac{x}{3} \Rightarrow x^2 - \frac{x}{3} = 0 \Rightarrow x \left(x - \frac{1}{3} \right) = 0

Como x \neq 0:

x - \frac{1}{3} = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{3}

O que você fez?


Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: scggomes - Sex Fev 18, 2011 16:17

eu só consegui fazer a igualdade, não consegui desenvolver o restante, não pensei em fatoração, mas agora entendi o que vc fez.

Obrigada.