Análise Real : Números Reais (desigualdade de Cauchy-Schwar

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Análise Real : Números Reais (desigualdade de Cauchy-Schwar

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Análise Real : Números Reais (desigualdade de Cauchy-Schwar

Mensagempor JorgeVidal » Dom Fev 22, 2015 18:00

Use a desigualdade de Cauchy-Schwarz para mostrar que:
a) Se a,b, c, d\geq0, então \frac{1}{2}(\sqrt[2]{a}+\sqrt[2]{b}+\sqrt[2]{c}+\sqrt[2]{d})\geq\sqrt[2]{a+b+c+d} ;
b)cos\theta.sen\varphi+sin\theta.sin\varphi+cos\varphi\leq\sqrt[]{3} , para quaisquer \theta,\varphi\in\Re ;
c) Se a,b>0 e a+b=1 , então (a+\frac{1}{a})^2+(b+\frac{1}{b})^2\geq\frac{25}{2}
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Re: Análise Real : Números Reais (desigualdade de Cauchy-Sch

Mensagempor adauto martins » Qua Fev 25, 2015 20:49

a)farei p/ dois num. e extender p/ os quatro...
{(\sqrt[]{a}-\sqrt[]{b}})^{2}\geq 0\Rightarrow a-2\sqrt[]{a}\sqrt[]{b}+b\succeq 0\Rightarrow a+b\succeq 2\sqrt[]{a}\sqrt[]{b}\Rightarrow a+2\sqrt[]{a}.\sqrt[]{b}+b\succeq 4\sqrt[]{a}\sqrt[]{b}\Rightarrow {(\sqrt[]{a}+\sqrt[]{b}})^{2}\succeq 4\sqrt[]{a}\sqrt[]{b}\Rightarrow 1/2(\sqrt[]{a}+\sqrt[]{b})\succeq \sqrt[]{a.b}\succeq \sqrt[]{a+b}...
b)cos\theta.sen\varphi+sen\theta.sen\varphi +cos\varphi\preceq \left|cos\theta.sen\varphi+sen\theta.sen\varphi +cos\varphi \right|\preceq \left|sen\thet.cos\thetasen\varphi \right|+\left|sen\theta.sen\thetacos\varphi \right|+\left|cos\varphi \right|\preceq (\sqrt[]{3}/2).(\sqrt[]{3}/2)+(\sqrt[]{3}/2).(\sqrt[]{3}/2)+(\sqrt[]{3}/2)=2/3+(\sqrt[]{3}/2)\prec (\sqrt[]{3}/2).(\sqrt[]{3}/2)=\sqrt[]{3}
c)sugestao...desiqualdade de bernoulli...({1+x})^{n}\succeq 1+nx...
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Assunto: Taxa de variação
Autor: felipe_ad - Ter Jun 29, 2010 19:44

Como resolvo uma questao desse tipo:

Uma usina de britagem produz pó de pedra, que ao ser depositado no solo, forma uma pilha cônica onde a altura é aproximadamente igual a 4/3 do raio da base.
(a) Determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da base.
(b) Se o raio da base varia a uma taxa de 20 cm/s, qual a razão de variação do volume quando o raio mede 2 m?

A letra (a) consegui resolver e cheguei no resultado correto de \frac{4\pi{r}^{2}}{3}
Porem, nao consegui chegar a um resultado correto na letra (b). A resposta certa é 1,066\pi

Alguem me ajuda? Agradeço desde já.

Assunto: Taxa de variação
Autor: Elcioschin - Qua Jun 30, 2010 20:47

V = (1/3)*pi*r²*h ----> h = 4r/3

V = (1/3)*pi*r²*(4r/3) ----> V = (4*pi/9)*r³

Derivando:

dV/dr = (4*pi/9)*(3r²) -----> dV/dr = 4pi*r²/3

Para dr = 20 cm/s = 0,2 m/s e R = 2 m ----> dV/0,2 = (4*pi*2²)/3 ----> dV = (3,2/3)*pi ----> dV ~= 1,066*pi m³/s

Assunto: Taxa de variação
Autor: Guill - Ter Fev 21, 2012 21:17

Temos que o volume é dado por:

V = \frac{4\pi}{3}r^2


Temos, portanto, o volume em função do raio. Podemos diferenciar implicitamente ambos os lados da equação em função do tempo, para encontrar as derivadas em função do tempo:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.r}{3}.\frac{dr}{dt}


Sabendo que a taxa de variação do raio é 0,2 m/s e que queremos ataxa de variação do volume quando o raio for 2 m:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.2}{3}.\frac{2}{10}

\frac{dV}{dt} = \frac{16\pi}{15}

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