Demonstração de a²+b²+ab é maior ou igual a 0

por **JessicaHayanne** » Qui Mar 21, 2013 17:41

Demonstrar que a²+b²+ab é maior ou igual a 0.

Consegui demonstrar utilizando a=0 e b=0; e também a>0 e b>0 porém o professor disse que ainda falta um passo e nao sei.
Por favor Ajudem.
Grata desde já.
Att.
Jéssica Hayanne

por **e8group** » Qui Mar 21, 2013 19:17

Boa tarde ,vou propor algumas dicas .
(1)

Você provou que $a^2 + b^2 +ab \geq 0$ para a,b > 0

e

.
Sua demonstração está incompleta ,pois não considerou o caso em que a > 0 , b < 0

e

e ambos

.

(2) Segue outra resolução ,qualquer dúvida retorne !

Claramente para qualquer a,b

real (verifique!) , $a^2 + b^2 \geq 0$ e ainda $2(a^2+b^2) \geq a^2 + b^2$ ;logo $2(a^2+b^2) + 2ab \geq a^2 + b^2 + 2ab = (a+b)^2$ .

Ou seja , $2(a^2 + b^2 +ab) \geq (a+b)^2 \implies a^2 + b^2 +ab \geq \frac{1}{2} \cdot (a+b)^2$ .

De 1/2 > 0

e $(a+b)^2 \geq 0$ para qualquer real a,b

,obtemos que $\frac{1}{2} \cdot (a+b)^2 \geq 0$ . Conclusão :

$a^2 + b^2 +ab \geq \frac{1}{2} \cdot (a+b)^2 \implies a^2 + b^2 +ab \geq 0$ .

Espero que esteja correto .

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