Teoria dos Números

[Jamyson]

Não estou conseguido responder estas duas questões. Agraço se responder.

a) Sabendo que mdc (a,b) = 1 mostre que mdc (2a + b, a + 2b) = 1 ou 3.
b) Mostre que " Se a e b são números inteiros positivos, então mdc(a,b).mmc(a,b) = ab

[young_jedi]

vamos dizer que mdc(2a+b,2b+a)=k

portanto nos temos



e



onde x e y são numeros interios positivos
isolando k em uma das expressões e substituindo na outra









mais como mdc(a,b)=1, então se fatorarmos a e b eles não terão nenhum fator em comum portanto para que esta igualdade seja valida nos temos que



e



onde m é um numero inteiro

se multiplicarmos ambas as exprssões por k nos temos




e



agora substituindo kx e ky pelas equações originais nos temos



e



desenvolvendo as epressões





e





ou seja



com sabemos que tanto k quanto m são numeros inteiros então temos que

k=1 e m=3

ou

k=3 e m=1

portanto as soluções para k são 1 ou 3