Eu não tenho certeza se essa é a abordagem mais conveniente para este problema, mas eu pensei no seguinte raciocínio. O ângulo variável no tempo
que cada ponteiro forma com um referencial fixo segue uma equação diferencial da forma
, onde
é uma constante. Ou seja, os ponteiros percorrem ângulos iguais em tempos iguais. Certo, isso não é novidade. Portanto se, por exemplo,
é o angulo formado entre o ponteiro dos minutos e das horas a cada instante te tempo, eu acredito que precisamos calcular um número
de vezes tal que
para o intervalo de tempo de 1 dia.
Façamos que à meia-noite(
) todos os ponteiros formem com relação ao eixo vertical do relógio
e o crescimento dos ângulos se dá no sentido horário. As velocidades angulares de cada ponteiro são para o das horas, minutos e segundos, respectivamente,
rad/s ,
rad/2 e
rad/s. Assim, as soluções das equações de crescimento são
e, de onde, temos que os ângulos formados entre os ponteiros para cada instante de tempo é simplesmente a diferença entre eles.
Se formos verificar o angulo formado entre o ponteiro das horas e dos minutos, temos
. Daí, seguindo o raciocínio, precisamos calcular
tal que
para
já que
é à meia-noite. Fazendo a conta, encontramos que o menor
inteiro tal que
é
. Daí, o ângulo entre estes ponteiros será 120° 21 vezes por dia. (será q é certo isso ???)
Mas, de qualquer forma, o problema é identificar ângulos relativos iguais. Se
fizesse o mesmo papel que
no ângulo relativo entre o ponteiro dos minutos e segundos, por exemplo, eu acho que teríamos uma equação diofantina relacionando-os.