Olá! Faz uns anos que não posto aqui, hehe.
Estou encarando o Introduction to Logic, do Patrick Suppes (pdf: http://tinyurl.com/oyytpee).
E na página 113 do livro (131 do pdf), 5ª questão, se pede o seguinte:
Com base nos três seguintes axiomas, prove o teorema :
Axioma 1:
Axioma 2:
Axioma 3:
Isto é, dada Associatividade (axioma 1) e os outros 2 axiomas, demonstrar a existência do "elemento identidade à direita". Se não estou cometendo algum erro muito estúpido, esse exercício parece dificílimo. Já passei umas dez horas tentando de tudo: substituições de iguais por iguais; fazer os axiomas 2 e 3 se tornarem e , respectivamente; prova por absurdo. Não parece haver maneira de sair dos para um existencial puro , que é o que se pede. Infelizmente não dá pra detalhar aqui a tentativa de derivação. O núcleo é:
E pelo Axioma 3:
Nesse ponto não posso quantificar nem existencialmente, nem universalmente. O subscrito em (onde é um nome ambíguo derivado de , e o subscrito indica a dependência de , que ocorria livre na fórmula original -- além disso, precisa ser diferente de , que ocorre antes; regras de em Suppes, rs) me impede de simplesmente -quantificar sobre e chegar no resultado procurado , e daí para . Tampouco parece ajudar qualquer coisa a partir daqui:
E daí brincando com o axioma 1. Não consigo provar que , e talvez isso ajudaria.
Talvez inserir no meio e fazer alguma coisa ajude. Mas não sei o quê... Preciso de uma fórmula , sem subscrito, mas os axiomas parecem incapazes de produzi-la. Estou especialmente frustrado, porque esse parece ser um passo chave para usar todo o poder dos axiomas. Sigo pensando...