Seja x um inteiro positivo.Demonstre que:
(1+x)^n > 1 + nx, para todo n 2
Não estava conseguindo resolver este exercício, então fui olhar nas respostas do meu material:
Comecemos com verificar a condição PIF 1
P (2) = "(1+x)² > 1 + 2x"
P (2) = "1 + 2x + x² > 1 + 2x"
como x > 0, P(2) é verdadeira.
Logo, P(2) é verdadeira. Para verificar a condição PIF 2, devemos tomar um número natural positivo qualquer k N e mostrar que vale a implicação
p (k) -> p(k+1). Em outras palavras, devemos supor que P(k) é verdadeira (hipótese indutiva) e mostrar que P(k+1) é verdadeira. Logo, a nossa hipótese indutiva é:
(1+x)^k > 1 + kx
Até aqui tudo bem, depois não entendi direito como proceder:
Usando a hipótese de indução, queremos demonstrar P(k+1), reescrevendo P(k+1) e usando a hipótese indutiva temos:
(1+x)^k+1 = (1+x)[(1+x)^k]
(1+x)(1+ kx)
1 + kx + x + kx²
1 + (k + 1) x
Algúem poderia me ajudar a entender essa parte?