[Indução] Para todo n maior igual que 2

por **+danile10** » Dom Fev 17, 2013 13:07

Seja x um inteiro positivo.Demonstre que:

(1+x)^n > 1 + nx, para todo n $\geq$ 2

Não estava conseguindo resolver este exercício, então fui olhar nas respostas do meu material:

Comecemos com verificar a condição PIF 1

P (2) = "(1+x)² > 1 + 2x"
P (2) = "1 + 2x + x² > 1 + 2x"
como x > 0, P(2) é verdadeira.

Logo, P(2) é verdadeira. Para verificar a condição PIF 2, devemos tomar um número natural positivo qualquer k $\epsilon$ N e mostrar que vale a implicação
p (k) -> p(k+1). Em outras palavras, devemos supor que P(k) é verdadeira (hipótese indutiva) e mostrar que P(k+1) é verdadeira. Logo, a nossa hipótese indutiva é:

(1+x)^k > 1 + kx

Até aqui tudo bem, depois não entendi direito como proceder:

Usando a hipótese de indução, queremos demonstrar P(k+1), reescrevendo P(k+1) e usando a hipótese indutiva temos:

(1+x)^k+1 = (1+x)[(1+x)^k]
$\geq$ (1+x)(1+ kx)
$\geq$ 1 + kx + x + kx²
$\geq$ 1 + (k + 1) x

Algúem poderia me ajudar a entender essa parte?

por **DanielFerreira** » Dom Fev 17, 2013 13:54

Hipótese de indução: $\boxed{(1 + x)^k > 1 + kx}$

Quando P(k + 1)

, então:

$\\ (1 + x)^{(k + 1)} > 1 + (k + 1)x \\\\ (1 + x)^k \cdot (1 + x)^1 > 1 + kx + x \\\\ (1 + x) \cdot \boxed{(1 + x)^k > 1 + kx} + 1$

Podemos notar que (1 + x) > 1

. Cqd!

por **e8group** » Dom Fev 17, 2013 14:40

Respodendo a sua dúvida ,devemos chegar em $(1+x)^{k+1} > 1 + (k+1)x$ para mostra que o resultado também é verdadeiro p/ k+1

. OK ?

Sabemos que $(1+x)^{k+1} = (1+x)(1+x)^k$ . OK ?

Além disso ,como estamos supondo que P(k)

é verdadeiro , isto é , (1+x)^k > 1 + kx

;multiplicando-se ambos membros da desigualdade por (1+x)

,(note que x é natural ,portanto (1+x) é sempre positivo ,então o 'sinal' da desigualdade se conserva )

segue que :

$\hspace{10} (1+x)\cdot (1+x)^n > (1+x)(1 + kx)$ .

Lembrando que $(1+x)^{k+1} = (1+x)(1+x)^k$

Teremos então :

$\hspace{10} (1+x)^{k+1} > (1+x)(1 + kx)$

Aplicando a propriedade distributiva em

,

(1+x)(1 + kx) = 1(1+kx) + x(1+kx) = 1 + kx + x + kx^2

Claramente 1 + kx + x + kx^2 > 1 + kx + x

OK ? (note que kx^2 é positivo )

Sendo assim ,

$\hspace{10} (1+x)^{k+1} > (1+x)(1 + kx) 1 + kx + x + kx^2 > 1 + kx + x$

Conclusão :

$(1+x)^{k+1} > 1 + (1+k)x$ .