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[Álgebra Linear] Transformação linear

[Álgebra Linear] Transformação linear

Mensagempor Debby » Dom Mai 27, 2012 12:17

Olá,
Estou com um pequeno problema, a professora solicitou que entregássemos uma lista de exercício para somar pontos na nota. Até aí nenhum problema, porém, ela disponibilizou um gabarito para conferirmos, pois o mais importante é que conste a resolução, no entanto tenho quase certeza de que um dos exercícios está com gabarito incorreto. Um detalhe, é que o gabarito disponibilizado foi feito por um aluno. E antes que perguntem, já mandei uma e-mail para professora, mas tenho receio de ela não responder.

O enunciado é o seguinte:

4. a) Ache a transformação linear T: R^3 \rightarrow R^2 tal que T(1, 0, 0) = (2, 0), T(0, 1, 0) = (1, 1) e T(0, 0, 1) = (0, -1).
b) Encontre v de R^3 tal que T(v) = (3,2).

Quanto ao item a) não há problemas, a transformação linear é: T(x , y, z) = (2x + y, y - z).
O problema está no item b) cujo resultado no gabarito está como T(v) = (3, 2) = (8, 1).

O porque de estar errado, segundo os meus conhecimentos:

  • Se v é de R^3 então o resultado deveria ser em R^3, ou seja, no formato (x, y, z).
  • Quem fez de maneira a chegar no resultado (8,1) substituiu da seguinte maneira: T(3,2) =  (2x + y, y -z) = (2*3 + 2, 3 - 2), ou seja, não aplicou a fórmula corretamente, mesmo porque não teria como, já que não há o z para substituir, modificou a fórmula da transformação para (2x + y, x - y).
  • Sem contar que T(3,2) = (8,1) é uma transformação de R^2 para R^2, mas a fórmula é de R^3 para R^2.
  • O correto seria cair em um sistema já que o que se pede é o T(v) em R^3: T(v) = T(x, y, z) \Rightarrow T(x, y, z) = (2x +y, y - z) = (3, 2) \Rightarrow 2x + y = 3 e y - z = 2.

O resultado que obtive a partir do sistema foi: T(v) = T(x, y, z) = (1, 1, -1). A minha conclusão é que mesmo se este estiver errado, o resultado (8 , 1) tampouco pode estar.

Por favor, me esclareçam, esqueci de algum detalhe? Fiz alguma besteira? Ou o gabarito está errado mesmo?

Grata!
Debby
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Re: [Álgebra Linear] Transformação linear

Mensagempor nietzsche » Dom Mai 27, 2012 13:35

Debby,

Creio que o gabarito contém erros. Não se pode escrever: T(v) = (3, 2) = (8, 1), pois o par ordenado (3,2) não é igual ao par ordenado (8,1).

Quando você diz: "O correto seria cair em um sistema já que o que se pede é o T(v) em R^3: T(v) = T(x, y, z)" há um pequeno erro, pois
T: R³ → R², ou seja T aplicada num vetor v pertecente ao R³(domínio), vai parar num vetor T(v) pertencente ao R² (contradomínio). Ou seja, v tem três coordenadas v = (x, y, z), onde, x, y, e z pertencem a R­ (números reais), e T(v) tem duas.

Outra coisa "O resultado que obtive a partir do sistema foi: T(v) = T(x, y, z) = (1, 1, -1)", você cometeu o erro de dizer que T(x, y, z) pertece ao R³, pois quando afirma que T(x, y, z) = (1, 1, -1), afirma que T aplicada no vetor (x, y, z) é igual a (1, 1, -1) que por sua vez é um elemento do R³. Mas T(v) pertece ao R², tem duas componentes.

Você poderia chegar no resultado da outra parte que citou. Supondo que a fórmula pra tranformação T esteja correta, você fez:
T(x, y, z) = (2x +y, y - z) = (3, 2), obtendo as equações:
1) 2x + y = 3 e
2) y - z = 2.

Daqui, você pode escolher, por análise , z = 0. Então y será igual a 2, pela equação 2). Substituindo na 1), 2 x + 2 = 3, então, x = 1/2.
Portanto a reposta, seria, o vetor v do R³ tal que T(v) = (3,2), é o vetor v = (1/2, 2, 0).

Talvez tenha mais de uma resposta, visto que eu que escolhi o valor do z por análise, pois o sistema ficou com duas equações e três variáveis. Mas uma possível resposta correta seria esse vetor (1/2, 2, 0).
nietzsche
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Re: [Álgebra Linear] Transformação linear

Mensagempor Debby » Dom Mai 27, 2012 20:27

nietzsche escreveu:Debby,

Creio que o gabarito contém erros. Não se pode escrever: T(v) = (3, 2) = (8, 1), pois o par ordenado (3,2) não é igual ao par ordenado (8,1).

Quando você diz: "O correto seria cair em um sistema já que o que se pede é o T(v) em R^3: T(v) = T(x, y, z)" há um pequeno erro, pois
T: R³ → R², ou seja T aplicada num vetor v pertecente ao R³(domínio), vai parar num vetor T(v) pertencente ao R² (contradomínio). Ou seja, v tem três coordenadas v = (x, y, z), onde, x, y, e z pertencem a R­ (números reais), e T(v) tem duas.

Outra coisa "O resultado que obtive a partir do sistema foi: T(v) = T(x, y, z) = (1, 1, -1)", você cometeu o erro de dizer que T(x, y, z) pertece ao R³, pois quando afirma que T(x, y, z) = (1, 1, -1), afirma que T aplicada no vetor (x, y, z) é igual a (1, 1, -1) que por sua vez é um elemento do R³. Mas T(v) pertece ao R², tem duas componentes.


É, desculpe, expressei mal na tentativa de resumir, mas o intuito era dizer que T(x, y, z) = (2x + y, y -z) = (3, 2), sendo que para a transformação resultar em (3, 2) os valores de x, y e z são respectivamente 1, 1, e -1.
Mas enfim, o mais importante era o fato de o gabarito estar incorreto, principalmente por não retornar x, y e z, ou seja, as coordenadas do vetor v que é de R³.

nietzsche escreveu:Você poderia chegar no resultado da outra parte que citou. Supondo que a fórmula pra tranformação T esteja correta, você fez:
T(x, y, z) = (2x +y, y - z) = (3, 2), obtendo as equações:
1) 2x + y = 3 e
2) y - z = 2.

Daqui, você pode escolher, por análise , z = 0. Então y será igual a 2, pela equação 2). Substituindo na 1), 2 x + 2 = 3, então, x = 1/2.
Portanto a reposta, seria, o vetor v do R³ tal que T(v) = (3,2), é o vetor v = (1/2, 2, 0).

Talvez tenha mais de uma resposta, visto que eu que escolhi o valor do z por análise, pois o sistema ficou com duas equações e três variáveis. Mas uma possível resposta correta seria esse vetor (1/2, 2, 0).


Para resolver o sistema fiz a soma das equações da seguinte maneira:
1) 2x + y + 0z = 3
2) 0x + y - z = 2 (x -1) => 0x - y + z = -2

Fazendo a soma, anula-se o y e sobra 2x + z = 1 e daí em diante prossegui com o método da substituição. Mas acho que antes de colocar todo o procedimento aqui, seria bom saber se o que fiz para resolver o sistema é válido.

Muito obrigada pela ajuda!
Debby
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Logo, o afixo é b = \frac{1 + i\sqrt{8}}{3}.