Álgebra Linear Espaço Vetorial("base")

por **Garota nerd** » Seg Set 19, 2011 00:39

Olá, alguém poderia me ajudar com essas questões?^^
1-Seja u =(2,3), e as bases B1={(1,2),(-1,3)},B2={(2,1),(-2,1)}
a) Escreva o vetor u nas bases B1 e B2.
b) Escreva o vetor coordenada de u nas duas bases.
Qual a diferença dessas duas questões?
sei que para escrever o vetor coordenada de u nas bases é só usar combinação linear.
tipo:
u=a(1,2)+b(-1,3)
(2,3)=a(1,2)+b(-1,3)
e u=a(2,1)+b(-2,1)
(2,3)=a(2,1)+b(-2,1)
Qual diferença do que pede em a para b?
a outra questão é:

2- Mostre que B={(1,0),(i,0),(0,1),(0,1),(0,i)} é base do espaço vetorial dos pares ordenados dos números complexos sobre o corpo dos complexos A={(u,v)/u,v E C}.
sei que a idéia é saber se B é li e se B gera V.
Mas como fica fazendo isso com números complexos.
Só faltam essas questões para terminar a lista que a professora pediu.
Alguém poderia me ajudar por favor?:)

por **LuizAquino** » Seg Set 19, 2011 10:14

Garota nerd escreveu:Qual a diferença dessas duas questões?

Considere a base $B = \{(x_0,\,y_0), (x_1,\, y_1)\}$ . Escrever o vetor $\vec{u}$ nessa base significa determinar as constantes

e

tais que $\vec{u} = a(x_0,\, y_0) + b(x_1,\, y_1)$ . O par $(a,\,b)$ é chamado de vetor coordenada de $\vec{u}$ na base B.

Garota nerd escreveu:Mas como fica fazendo isso com números complexos.

Lembre-se que os números complexos possuem o formato u = a + bi, com a e b números reais.

Dessa maneira, uma outra forma de enxergar $A = \{(u,\,v) \mid u,\,v\in \mathbb{C}\}$ é escrevendo $A = \{(a+bi,\,c+di) \mid a,\,b,\,c,\,d \in \mathbb{R}\}$ .

por **Garota nerd** » Seg Set 19, 2011 14:44

entendi a primeira fiz e acertei,mas falta entender a,segunda fiz assim:
verificar se é li.
a(1,0)+b(i,0)+c(0,1)+d(0,i)=0
(a,0)+(bi,0)+(0,c)+(0,di)=0
a+bi=0
c+di=0
do jeito que ta aí o grau de liberdade é 2, ou seja 2 variáveis livres,assim é ld,então não seria base.
a=-bi
c=-di
meus livros só falam em relação aos reais.
Se eu errei me ajude por favor,só falta essa questão,a prova é quinta.

uma obs:
eu coloquei a base errada, com um vetor a mais.
a certa é essa:
B={(1,0),(i,0),(0,1),(0,i)}
^^

por **LuizAquino** » Seg Set 19, 2011 16:22

Garota nerd escreveu:a+bi=0
c+di=0

Quando dois números complexos são iguais?

Ora, os números complexos u = p + qi e v = k + mi são iguais se, e somente se, p = k e q = m.

Pensando dessa forma, quando que o número complexo a + bi será igual ao número complexo 0? (Lembre-se que o número complexo 0 pode ser visto como 0 + 0i.)