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TRANSFORNAÇÃO LINEAR

TRANSFORNAÇÃO LINEAR

Mensagempor baianinha » Seg Fev 21, 2011 12:59

Sabendo que a matriz de uma transformação linear t:{P}_{2}(R)\rightarrow{M}_{2x2(R)}
nas bases a={ t, t+2,{t}^{2}} do {P}_{2}(R)   
  e B={\left[
\begin{vmatrix}
   1 & 1  \\ 
   0 & 0 
\end{vmatrix}
 \right],\left[
\begin{vmatrix}
   0 & 1  \\ 
   1 & 0 
\end{vmatrix}
 \right],\left[
\begin{vmatrix}
   0 & 0  \\ 
   1 & 1 
\end{vmatrix},}

 \right],\left[
\begin{vmatrix}
   0 & 0  \\ 
   1 & 2 
\end{vmatrix}
 \right],\left[T \right]A.B=
\begin{pmatrix}
   1 & 1 & 0  \\ 
   0 & 1 & 0  \\
   0 & 0 & -1  \\ 
   0 & 0 &  1
\end{pmatrix}

Como faço para encontrar a expressão de T (X,Y)?
baianinha
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Re: TRANSFORNAÇÃO LINEAR

Mensagempor LuizAquino » Ter Fev 22, 2011 16:44

baianinha escreveu:Sabe-se que a matriz de uma transformação linear T:P_2(\mathbb{R}) \rightarrow M_{2\times 2}(\mathbb{R})

é dada por [T]_A^B = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix},

considerando as bases A=\{ t,\, t+2,\, t^2\} de P_2(\mathbb{R}) e B=\left\{ \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}, \, \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix},\, \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix},\, \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} \right\} de M_{2\times 2}(\mathbb{R}).

Encontrar a expressão de T(p).


Do conhecimento de Álgebra Linear, sabemos que:

[T(p)]_B = [T]_A^B[p]_A

onde
[T(p)]_B - vetor de coordenadas de T(p) na base B;
[T]_A^B - matriz de T em relação as bases A e B;
[p]_A - vetor de coordenadas de p na base A;

Primeiro, vamos determinar quem é o vetor de coordenadas de p na base A. Sabemos que um polinômio de 2° grau é dado por p(t) = at^2 + bt + c. Nós queremos descobrir os escalares k1, k2 e k3 de modo que p(t) = k_1t + k_2(t+2) + k_3t^2. Arrumando essa equação e comparando os coeficientes dos polinômios, é fácil obter que k_1 = b - \frac{c}{2}, k_2 = \frac{c}{2}, k_3 = a. Portanto, temos que:
[p]_A = \begin{bmatrix} b -\frac{c}{2} \\ \frac{c}{2} \\ a \end{bmatrix}_A

Desse modo, obtemos que:
[T(p)]_B = [T]_A^B[p]_A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}_A^B \begin{bmatrix} b -\frac{c}{2} \\ \frac{c}{2} \\ a \end{bmatrix}_A = \begin{bmatrix} b \\ \frac{c}{2} \\ - a \\ a \end{bmatrix}_B

Escrevendo [T(p)]_B usando o vetor de coordenadas calculado e a base B dada, nós temos:

T(p) = b\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}  + \frac{c}{2}\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} - a\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} + a\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}

T(p) = \begin{bmatrix} b & b+\frac{c}{2} \\ \frac{c}{2} & a \end{bmatrix}
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Assunto: simplifiquei e achei...está certo?????????????
Autor: zig - Sex Set 23, 2011 13:57

{(0,05)}^{-\frac{1}{2}}=\frac{10}{\sqrt[5]}{(0,05)}^{-\frac{1}{2}}=\frac{10}{\sqrt[2]{5}}


Assunto: simplifiquei e achei...está certo?????????????
Autor: Vennom - Sex Set 23, 2011 21:41

zig escreveu:{(0,05)}^{-\frac{1}{2}}=\frac{10}{\sqrt[5]}{(0,05)}^{-\frac{1}{2}}=\frac{10}{\sqrt[2]{5}}


Rpz, o negócio é o seguinte:
Quando você tem uma potência negativa, tu deve inverter a base dela. Por exemplo: {\frac{1}{4}}^{-1} = \frac{4}{1}

Então pense o seguinte: a fração geratriz de 0,05 é \frac{1}{20} , ou seja, 1 dividido por 20 é igual a 0.05 . Sendo assim, a função final é igual a vinte elevado à meio.
Veja: {0,05}^{-\frac{1}{2}} = {\frac{1}{20}}^{-\frac{1}{2}} = {\frac{20}{1}}^{\frac{1}{2}} = \sqrt[2]{20}

A raiz quadrada de vinte, você acha fácil, né?

Espero ter ajudado.


Assunto: simplifiquei e achei...está certo?????????????
Autor: fraol - Dom Dez 11, 2011 20:23

Nós podemos simplificar, um pouco, sqrt(20) da seguinte forma:

sqrt(20) = sqrt(4 . 5) = sqrt( 2^2 . 5 ) = 2 sqrt(5).

É isso.


Assunto: simplifiquei e achei...está certo?????????????
Autor: fraol - Dom Dez 11, 2011 20:24

Nós podemos simplificar, um pouco, \sqrt(20) da seguinte forma:

\sqrt(20) = \sqrt(4 . 5) = \sqrt( 2^2 . 5 ) = 2 \sqrt(5).

É isso.