Olá Manoella,
Primeiro, não é porque você estuda Matemática que pode descuidar-se do Português. Portanto, veja as correções do colega como uma crítica construtiva e evite escrever errado, seja lá onde for.
Agora, vejamos a sua dúvida.
Vamos começar com noções intuitivas e não muito formais. Vamos pensar em funções de um modo geral (lembre-se que uma transformação linear é uma função, mas que tem duas propriedades particulares: preserva a soma; preserva o produto por escalar).
Considere dois conjuntos, A e B, de modo que A tem 3 elementos e B tem 2 elementos.
É possível criar uma função de A para B que seja injetora? Bem, sabemos que uma função é injetora quando para quaisquer dois elementos diferentes do domínio tivermos imagens diferentes, isto é, a associação entre domínio e imagem é de 1 para 1. Perceba que não é possível fazer isso nesse caso, pois no conjunto A sempre sobraria um elemento, o que não pode ocorrer já que A deveria ser o domínio da função. Veja o diagrama abaixo.
- Não pode haver função injetora de A para B.
- Diagrama1.png (19.96 KiB) Exibido 8198 vezes
Por outro lado, é possível criar uma função de B para A que seja sobrejetora? Bem, sabemos que uma função é sobrejetora quando o contra-domínio é igual a imagem, isto é, todo elemento do contra-domínio está associado a algum elemento do domínio. Perceba que não é possível fazer isso nesse caso, pois no conjunto B haveria um elemento associado a mais de um elemento do conjunto A, o que não pode ocorrer já que B deveria ser o domínio da função. Veja o diagrama abaixo.
- Não pode haver função sobrejetora de B para A.
- Diagrama2.png (21.34 KiB) Exibido 8198 vezes
Dito isso, vamos analisar as transformações lineares de
em
. Nos exemplos anteriores, os conjuntos A e B eram finitos, entretanto agora estamos tratando com dois conjuntos infinitos. Porém, se m>n, os conjuntos
e
possuem dimensões distintas e haverá "mais elementos" em
do que em
(apesar dos dois conjuntos serem infinitos). Utilizando as noções vistas anteriormente, poderemos então enxergar intuitivamente a afirmação:
Se m>n, então:
(i) a transformação linear
não pode ser injetora.
(ii) a transformação linear
não pode ser sobrejetora.
Observação: Para entender melhor sobre essa ideia de dois conjuntos infinitos, mas que um tem "mais elementos" do que outro, você precisa estudar Teoria de Conjuntos, principalmente o conceito de cardinalidade. Apenas como outro exemplo, os conjuntos
,
e
possuem a mesma cardinalidade, mas o conjunto
tem uma cardinalidade maior do que qualquer um desses conjuntos. Ou seja, é correto afirmar que há mais números reais do que naturais, inteiros ou racionais, apesar de todos esses conjuntos serem infinitos.
Agora, sendo um pouco mais formal, há um teorema que é muito aplicado para discutir sobre injetividade e sobrejetividade de transformações lineares. Trata-se do
Teorema da Dimensão do Núcleo e da Imagem:
Seja
uma transformação linear, então é válido que:
,
onde N(T) é o núcleo da transformação linear e Img(T) é a sua imagem.
Usando esse teorema, vejamos como justificar as afirmações (i) e (ii):
Se m>n, então:
(i) a transformação linear
não pode ser injetora.
Se T fosse injetora, então
e por definição
. Usando o teorema, deveríamos ter:
,
porém
, de onde teríamos:
Mas, isso é absurdo, já que por hipótese m>n. Portanto, T não pode ser injetora.
ii) a transformação linear
não pode ser sobrejetora.
Se T fosse sobrejetora, então
e portanto
. Usando o teorema, deveríamos ter:
,
de onde teríamos:
Mas, isso é absurdo, já que por hipótese m>n e desse modo teríamos
, o que não pode ocorrer já que não há dimensão negativa. Portanto, T não pode ser sobrejetora.
Por fim, recomendo que você estude cuidadosamente esses conceitos. Se desejar, use o livro "Introdução à Álgebra Linear" de Reginaldo J. Santos, disponível em:
http://www.mat.ufmg.br/~regi/
por Manoella » Sáb Jan 22, 2011 14:16 
? existe sim...Mas pq??? Mim ajude a explicar com calculos?
. Mim ajude a fazer os calculos do Pq, disso?
