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[Transform. linear] A imagem de T(x,y,z)=(x,y,z)x(1,1,1) é?

[Transform. linear] A imagem de T(x,y,z)=(x,y,z)x(1,1,1) é?

Mensagempor robmenas » Seg Abr 01, 2019 13:25

A imagem da transformação linear T(x,y,z)=(x,y,z)\times(1,1,1), em que \times indica o produto vetorial em \mathbb{R}^3, é:

    (A) \mathbb{R}^3
    (B) A reta de equação t(1,1,1), t \in \mathbb{R}
    (C) A reta de equação t(1,0,-1), t \in \mathbb{R}
    (D) O plano de equação x+y+z=0
    (E) O plano de equação x-z=0
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Re: [Transform. linear] A imagem de T(x,y,z)=(x,y,z)x(1,1,1)

Mensagempor robmenas » Sáb Abr 06, 2019 15:07

T(x,y,z) = (x,y,z)\times(1,1,1)
T(x,y,z) = (y-z , z-x , x-y)
T(x,y,z) = (0, -x, x) + (y, 0, -y) + (-z, z, 0)
T(x,y,z) = x(0, -1, 1) + y(1, 0, -1) + z(-1, 1, 0)

Ou seja, Im(T) é o conjunto gerado pelos vetores (0, -1, 1), (1, 0, -1) e (-1, 1, 0).
Opções:
(1) se os vetores são L.I., então Im(T) = \mathbb{R}^3;
(2) se os vetores são L.D., então Im(T) forma algum plano ou alguma reta;

x(0, -1, 1) + y(1, 0, -1) + z(-1, 1, 0) = (0, 0, 0)
\left\{
\begin{array}{ll}y-z=0
\\
z-x=0 \\
x-y=0
\end{array}

x = z = y que é diferente da solução trivial, então os vetores são linearmente dependentes. Descartando um deles, podemos dizer que
Im(T) é o conjunto gerado pelos vetores (0, -1, 1) e (1, 0, -1).

Opções:
(1) se os vetores são L.I., então Im(T) forma um plano;
(2) se os vetores são L.D., então Im(T) forma uma reta;

x(0, -1, 1) + y(1, 0, -1) = (0, 0, 0)
\left\{
\begin{array}{ll}y=0
\\
x=0 
\end{array}
Que é a solução trivial. Logo os vetores são Linearmente independentes e Im(T) forma um plano.

Comparando aos planos dados nas alternativas, o único que se ajusta aos vetores (0, -1, 1) e (1, 0, -1), que são bases da Im(T), é x+y+z=0.

Logo, a resposta é a alternativa D.
robmenas
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Assunto: Unesp - 95 Números Complexos
Autor: Alucard014 - Dom Ago 01, 2010 18:22

(UNESP - 95) Seja L o Afixo de um Número complexo a=\sqrt{8}+ i em um sistema de coordenadas cartesianas xOy. Determine o número complexo b , de módulo igual a 1 , cujo afixo M pertence ao quarto quadrante e é tal que o ângulo LÔM é reto.


Assunto: Unesp - 95 Números Complexos
Autor: MarceloFantini - Qui Ago 05, 2010 17:27

Seja \alpha o ângulo entre o eixo horizontal e o afixo a. O triângulo é retângulo com catetos 1 e \sqrt{8}, tal que tg \alpha = \frac{1}{sqrt{8}}. Seja \theta o ângulo complementar. Então tg \theta = \sqrt{8}. Como \alpha + \theta = \frac{\pi}{2}, o ângulo que o afixo b formará com a horizontal será \theta, mas negativo pois tem de ser no quarto quadrante. Se b = x+yi, então \frac{y}{x} = \sqrt {8} \Rightarrow y = x\sqrt{8}. Como módulo é um: |b| = \sqrt { x^2 + y^2 } = 1 \Rightarrow x^2 + y^2 = 1 \Rightarrow x^2 + 8x^2 = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{3} \Rightarrow y = \frac{\sqrt{8}}{3}.

Logo, o afixo é b = \frac{1 + i\sqrt{8}}{3}.