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Álgebra

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Mensagempor Claudin » Qua Abr 25, 2018 14:17

O número de dígitos do resultado da multiplicação 10^8 . 10^6 . 10^9 . 10^{12} ... 10^{30} é:

a)90
b)160
c)162
d)166
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Re: Álgebra

Mensagempor DanielFerreira » Sex Set 13, 2019 22:25

Claudin escreveu:O número de dígitos do resultado da multiplicação 10^8 . 10^6 . 10^9 . 10^{12} ... 10^{30} é:

a)90
b)160
c)162
d)166


\\ \mathsf{10^8 \cdot 10^6 \cdot 10^9 \cdot 10^{12} \cdot \ \cdots \ \cdot 10^{30} =} \\\\ \mathsf{10^8 \cdot \left (10^6 \cdot 10^9 \cdot 10^{12} \cdot \ \cdots \ \cdot 10^{30} \right ) =} \\\\ \mathsf{10^8 \cdot 10^{6 + 9 + 12 + \cdots + 30} =}

Como podemos notar, os expoentes do segundo fator é uma soma de termos que formam uma P.A de razão 3 cujo primeiro termo é 6 e último termo 30. Para determinar o resultado dessa soma, far-se-á necessário encontrar a quantidade de termos \mathsf{n} e substituir os dados na fórmula abaixo:

\boxed{\mathsf{S_n = \frac{(a_1 + a_n)n}{2}}}

Com efeito, teremos:

\\ \mathsf{10^8 \cdot 10^{6 + 9 + 12 + \cdots + 30} =} \\\\ \mathsf{10^8 \cdot 10^{162} =} \\\\ \mathsf{10^{170}}

Portanto, a quantidade de dígitos do produtório será \boxed{\boxed{\mathsf{171}}}!!
"Sabedoria é saber o que fazer;
habilidade é saber como fazer;
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Re: Álgebra

Mensagempor DanielFerreira » Sex Set 13, 2019 22:29

A propósito, caso tenha havido algum erro de digitação no expoente do primeiro fator, e, presumo que o mesmo seja 3, a resposta será 166 (171 - 5); diferença entre os expoentes 3 e 8!
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Assunto: Unesp - 95 Números Complexos
Autor: Alucard014 - Dom Ago 01, 2010 18:22

(UNESP - 95) Seja L o Afixo de um Número complexo a=\sqrt{8}+ i em um sistema de coordenadas cartesianas xOy. Determine o número complexo b , de módulo igual a 1 , cujo afixo M pertence ao quarto quadrante e é tal que o ângulo LÔM é reto.


Assunto: Unesp - 95 Números Complexos
Autor: MarceloFantini - Qui Ago 05, 2010 17:27

Seja \alpha o ângulo entre o eixo horizontal e o afixo a. O triângulo é retângulo com catetos 1 e \sqrt{8}, tal que tg \alpha = \frac{1}{sqrt{8}}. Seja \theta o ângulo complementar. Então tg \theta = \sqrt{8}. Como \alpha + \theta = \frac{\pi}{2}, o ângulo que o afixo b formará com a horizontal será \theta, mas negativo pois tem de ser no quarto quadrante. Se b = x+yi, então \frac{y}{x} = \sqrt {8} \Rightarrow y = x\sqrt{8}. Como módulo é um: |b| = \sqrt { x^2 + y^2 } = 1 \Rightarrow x^2 + y^2 = 1 \Rightarrow x^2 + 8x^2 = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{3} \Rightarrow y = \frac{\sqrt{8}}{3}.

Logo, o afixo é b = \frac{1 + i\sqrt{8}}{3}.