para cada vetor V o simétrico -V é único

[dkiwilson]

7. Mostre que em um espaço vetorial o vetor nulo é único e para cada vetor V o simétrico -V também é único.

Eu tenho a solução quando o vetor nulo é único, mas eu não sei responder quando para cada vetor V o simétrico -V também é único. Como eu faço nesse caso?

A estratégia padrão para provar afirmações do tipo "existe um único", é supor que existem dois objetos distintos que atendem a afirmação, mas no final provar que esses dois objetos na verdade são iguais. Isso é um tipo de prova que chamamos de redução ao absurdo.

Suponha que no espaço vetorial V existem dois elementos neutros distintos: u e v.

Desse modo, para qualquer vetor w em V temos que:
w + u = w
w + v = w

Isto é, temos que:
w + u = w + v

Ora, a partir disso concluímos que u = v. Mas isso é um absurdo, pois a hipótese inicial era que u e v são distintos.

Conclusão: em um espaço vetorial não pode haver dois elementos neutros distintos. Em outras palavras, o elemento neutro de um espaço vetorial é único.