Ajuda Matemática

seja $T:{\Re}^{3}\rightarrow {\Re}^{3}$ ,definida por:
T(x,y,z)=(2z,2x-y,-z)

,determine:
a)uma base para o nucleo,e uma base para a imagem de

b)

é injetiva?

é sobrejetiva?
soluçao:
a)
N(T)=

{ $T(v)=0/v\in {\Re}^{3}$ },logo:
T(x,y,z)=(2z,2x-y,-z)=(0,0,0)...

$\Rightarrow 2z=0 2x-y=0 -z=0$ $\Rightarrow$ x=y/2,z=0

,logo
$v=(x,y,z)=(y/2,y,0)=y(1/2,1,0)\Rightarrow [N(T)]=[(1/2,1,0)]$ ...
IM(T)=

{ $v\in {\Re}^{3}/v=(-2z,2x-y,-z)$ },entao
v=(2z,2x-y,-z)=x(0,2,0)+y(0,-1,0)+z(2,0,-1)

,como
$x(0,2,0),y(0,-1,0) sao LD (porque?)\Rightarrow [IM(T)]=[(0,2,0),(2,0-1)]$
ou [IM(T)]=[(0,-1,0),(2,0-1)]...

...
b)

nao é injetiva,pois
$DIM(N(T))=1\neq 0$ ...

nao é sobrejetiva,pois
$DIM(IM(T))=2\neq 3$ ...

ex.resolvido-transf.linear