Como você já notou ,na definição já pede que ambos sejam esp. vetoriais sobre mesmo corpo .Suponha que um conjunto
tem estrutura de espaço vetorial sobre um corpo
e que um conjunto
tem estrutura de espaço vetorial sobre um corpo
. Se qualquer subconjunto de
não tiver estrutura de espaço vetorial sobre o corpo
, então qualquer aplicação
não satisfaz :
.
(Pois , se
, fosse uma aplicação satisfazendo tal propriedade , nesse caso o subconjunto
é um espaço vetorial sobre
. (Verifique !) ) .
Além disso nota que
implica que
. Ora ,nesse caso caso temos que ter uma aplicação bem definida
. Do contrário o segundo membro de (*) não faz sentido . Mas se Y não tiver estrutura de esp. vetorial sobre o mesmo corpo que o espaço de saida , o que garanti que pelo menos a aplicação acima pode ser bem definida ?x]
Outra pergunta que possa surgi tbm . E se ,
? Neste
caso há um homomorfismo
.
Supondo que X tem dimensão finita , digamos n .Fixe uma base
para X , e escolha de forma arbitrária n vetores em Y , digamos
.
De cada vetor
que se exprime unicamente como
; a correspondência
define uma aplicação
que satisfaz
Em particular se
for subcorpo de
, basta tomar
como a inclusão
que é claramente um homomorfismo . Nesse caso , vale
.Para evitar 'complicações' já refinamos e pedimos algo mais : Pedimos que ambos espaços vetoriais sejam sobre o mesmo corpo . Nota tbm que os exemplos mais interessantes em estudo são de espaços vetoriais sobre R ou C , principalmente os normados ...