Conceito de Transfomação Linear

por **Razoli** » Sex Ago 28, 2015 18:28

Porque dois Espaços Vetoriais em uma transformações linear, tem que estar sobre o mesmo CORPO?

por **e8group** » Dom Ago 30, 2015 15:38

Como você já notou ,na definição já pede que ambos sejam esp. vetoriais sobre mesmo corpo .Suponha que um conjunto

tem estrutura de espaço vetorial sobre um corpo $\mathbb{K}$ e que um conjunto

tem estrutura de espaço vetorial sobre um corpo $\mathbb{F}$ . Se qualquer subconjunto de

não tiver estrutura de espaço vetorial sobre o corpo $\mathbb{K}$ , então qualquer aplicação $T : X \longrightarrow Y$ não satisfaz :

$\forall \alpha , \beta \in \mathbb{K} , \forall x,y \in X (T(\alpha x + \beta y) = \alpha T(x) + \beta T(y) ) (*)$ .

(Pois , se $T_0 : X \longrightarrow Y$ , fosse uma aplicação satisfazendo tal propriedade , nesse caso o subconjunto $T(X) \subset Y$ é um espaço vetorial sobre $\mathbb{K}$ . (Verifique !) ) .

Além disso nota que (*)

implica que $\alpha T(x) \in T(X) , \forall \alpha \in \mathbb{K} , \forall x \in X$ . Ora ,nesse caso caso temos que ter uma aplicação bem definida $(\alpha ,y ) \in \mathbb{K} \times T(X) \mapsto \alpha y \in T(X)$ . Do contrário o segundo membro de (*) não faz sentido . Mas se Y não tiver estrutura de esp. vetorial sobre o mesmo corpo que o espaço de saida , o que garanti que pelo menos a aplicação acima pode ser bem definida ?x]

Outra pergunta que possa surgi tbm . E se , $\mathbb{K}\cong \mathbb{F}$ ? Neste
caso há um homomorfismo $\chi : \mathbb{K} \longrightarrow \mathbb{F}$ .

Supondo que X tem dimensão finita , digamos n .Fixe uma base $\{v_1 , \hdots\ , v_n }$ para X , e escolha de forma arbitrária n vetores em Y , digamos $Tv_1 , \hdots , T v_n$ .

De cada vetor $x \in X$ que se exprime unicamente como $\sum_{i=1}^n \alpha^i(x) v_i ( \alpha^i(x) \in \mathbb{K} )$ ; a correspondência

$x \in X \mapsto \sum_{i=1}^n \chi( \alpha^i(x)) Tv_i \in Y$ define uma aplicação $T : X \longrightarrow Y$ que satisfaz $\forall \zeta , \gamma \in \mathbb{K}$ $\forall x, y \in X : T(\zeta x + \gamma y) = \chi(\zeta) Tx + \chi(\gamma) Ty$

Em particular se $\mathbb{K}$ for subcorpo de $\mathbb{F}$ , basta tomar $\chi$ como a inclusão $i : \beta \in \mathbb{K} \mapsto \beta \in \mathbb{F}$ que é claramente um homomorfismo . Nesse caso , vale $\forall \zeta , \gamma \in \mathbb{K}$ $\forall x, y \in X : T(\zeta x + \gamma y) = \zeta Tx + \gamma Ty (**)$ .Para evitar 'complicações' já refinamos e pedimos algo mais : Pedimos que ambos espaços vetoriais sejam sobre o mesmo corpo . Nota tbm que os exemplos mais interessantes em estudo são de espaços vetoriais sobre R ou C , principalmente os normados ...