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Mudança de base

Mudança de base

Mensagempor Thalis » Qui Jul 24, 2014 01:34

Mudança de base

Tenho uma matriz quadrada A.
Não sei em que base ela está escrita.
É possível escreve-la na base canônica?
Há alguma maneira de eu descobrir em que base ela está escrita?

Obrigado.
Thalis
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Re: Mudança de base

Mensagempor Pessoa Estranha » Qui Jul 24, 2014 23:31

Olá!

Podemos sim escrever uma matriz quadrada na base canônica ou em qualquer outra base do espaço vetorial das matrizes quadradas de ordem "n".

Vou colocar um exemplo.

Seja A uma matriz pertencente ao espaço vetorial das matrizes quadradas de ordem 2. Na verdade, o que devemos observar são as coordenadas dessa matriz na base desejada. Assim:

A = 
\begin{pmatrix}
   1 & 5  \\ 
   7 & 9 
\end{pmatrix} \Rightarrow {\left[A \right]}_{C} = 
\begin{pmatrix}
   1  \\ 
   5  \\
   7  \\
   9  \\
\end{pmatrix}

Ou seja, a matriz A pode ser assim escrita (na base canônica):

A = 
\begin{pmatrix}
   1 & 5  \\ 
   7 & 9 
\end{pmatrix} \Rightarrow A = 1.\begin{pmatrix}
   1 & 0  \\ 
   0 & 0 
\end{pmatrix} + 5.
\begin{pmatrix}
   0 & 1  \\ 
   0 & 0 
\end{pmatrix} + 7.
\begin{pmatrix}
   0 & 0  \\ 
   1 & 0 
\end{pmatrix} + 9.\begin{pmatrix}
   0 & 0  \\ 
   0 & 1 
\end{pmatrix}

Analogamente, podemos escrever a matriz A noutra base do espaço dessas matrizes. Contudo, precisamos ter em mente que para ser base, um conjunto deve satisfazer: linearmente independente e gerador do espaço.

Espero ter ajudado um pouco...
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Assunto: Unesp - 95 Números Complexos
Autor: Alucard014 - Dom Ago 01, 2010 18:22

(UNESP - 95) Seja L o Afixo de um Número complexo a=\sqrt{8}+ i em um sistema de coordenadas cartesianas xOy. Determine o número complexo b , de módulo igual a 1 , cujo afixo M pertence ao quarto quadrante e é tal que o ângulo LÔM é reto.


Assunto: Unesp - 95 Números Complexos
Autor: MarceloFantini - Qui Ago 05, 2010 17:27

Seja \alpha o ângulo entre o eixo horizontal e o afixo a. O triângulo é retângulo com catetos 1 e \sqrt{8}, tal que tg \alpha = \frac{1}{sqrt{8}}. Seja \theta o ângulo complementar. Então tg \theta = \sqrt{8}. Como \alpha + \theta = \frac{\pi}{2}, o ângulo que o afixo b formará com a horizontal será \theta, mas negativo pois tem de ser no quarto quadrante. Se b = x+yi, então \frac{y}{x} = \sqrt {8} \Rightarrow y = x\sqrt{8}. Como módulo é um: |b| = \sqrt { x^2 + y^2 } = 1 \Rightarrow x^2 + y^2 = 1 \Rightarrow x^2 + 8x^2 = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{3} \Rightarrow y = \frac{\sqrt{8}}{3}.

Logo, o afixo é b = \frac{1 + i\sqrt{8}}{3}.