[autovetores] Como encontrar os autovetores.

por **amigao** » Ter Jul 01, 2014 20:23

Estou resolvendo um exercicio de sistemas de equações diferenciais e encontrei os autovalores, mas estou com problemas para encontrar os autovetores para quando o lambda é complexo.

tenho que resolver isso:
$\chi' = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\chi$

Dai meu auto valores são:
$\lambda$ = 1
$\lambda = -1+ \sqrt[]{3} i$
$\lambda = -1- \sqrt[]{3} i$

Quando escolho o $\lambda = -1+ \sqrt[]{3} i$ e tento achar os autovetores eu fico com o tal sistema

$(-1+ \sqrt[]{3} i)v1=-v2 \\ (-1+ \sqrt[]{3} i)v2=-v3 \\ (-1+ \sqrt[]{3} i)v3=-v1 \\$

e não consigo escolher quais v1, v2 e v3 diferente de 0,0,0 que satisfaça o sistema para montar um autovetor.

Me ajudem por favor, urgente!!

grato

por **Russman** » Qua Jul 02, 2014 00:14

Primeiramente, eu acredito que você tenha esquecido de dividir os autovalores complexos por 2.
O(s) sistema(s) que você obterá serão da forma

$v_2 = \lambda v_1$
$v_3 = \lambda v_2$
$v_1 = \lambda v_3$

Assim, já que $\lambda \neq 0$ , a solução é

v_1 = k

$v_2 = \lambda k$
$v_3 = \frac{k}{\lambda}$

onde $k \in \mathbbm{R}$ .

Ou seja, o conjunto de autovetores da matriz para o autovalor $\lambda$ são os múltiplos reais de

$V = (1, \lambda , \frac{1}{\lambda})$

por **amigao** » Qua Jul 02, 2014 14:45

Russman escreveu:Primeiramente, eu acredito que você tenha esquecido de dividir os autovalores complexos por 2.
O(s) sistema(s) que você obterá serão da forma

$v_2 = \lambda v_1$
$v_3 = \lambda v_2$
$v_1 = \lambda v_3$

Assim, já que $\lambda \neq 0$ , a solução é

$v_2 = \lambda k$
$v_3 = \frac{k}{\lambda}$

onde $k \in \mathbbm{R}$ .

Ou seja, o conjunto de autovetores da matriz para o autovalor $\lambda$ são os múltiplos reais de

$V = (1, \lambda , \frac{1}{\lambda})$