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Dependência e independência linear

Dependência e independência linear

Mensagempor MtHenrique » Dom Mai 04, 2014 11:38

Considere a equação x1\vec{a}+y1\vec{b}+z1\vec{c}=x2\vec{a}+y2\vec{b}+z2\vec{c}.
a)Mostre que se \vec{a}, \vec{b}, e \vec{c} são LI, então x1=x2,y1=y2 e z1=z2.
b) Mostre que se \vec{a},\vec{b} e \vec{c} são LD então não podemos concluir que x1=x2,y1=y2 e z1=z2.
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Re: Dependência e independência linear

Mensagempor e8group » Dom Mai 04, 2014 13:05

Apresento uma ideia mais geral :

Seja E um espaço vetorial tal que \{v_1,v_2 , \hdots , v_m \} \subset E linearmente independente (L.I.) .

Seja v' \in E os vetores que são escritos como combinação linear de v_{i's} , isto é

v' =  \sum_{i=1}^m \alpha_i v_i  =   \alpha_1 v_1 +  \hdots  +  \alpha_m v_m  ;  \alpha_i \in \mathbb{R} .

Afirmamos que v' se exprimir de forma única como combinação linear dos v_{i's} , em outras palavras ,

Se v' =  \sum_{i=1}^m \alpha_i v_i  = \sum_{i=1}^m \beta_i v_i então \alpha_i = \beta_i  ,  i= 1 ,2,\hdots , m .

De fato ,

v' =  \sum_{i=1}^m \alpha_i v_i  =    \alpha_1 v_1 +  \hdots  +  \alpha_m v_m   = \sum_{i=1}^m \beta_i v_i = \beta_1 v_1 +  \hdots  +  \beta_m v_m se e somente se (sse) \alpha_1 v_1 +  \hdots  +  \alpha_m v_m -( \beta_i v_i = \beta_1 v_1 +  \hdots  +  \beta_m v_m)   = O_E sse (\alpha_1 - \beta_1) v_1 + \hdots +  (\alpha_m - \beta_m) v_m   = O_E .Como \{v_1,v_2 , \hdots , v_m \} L.I ,segue-se por definição de independência linear que todos escalares \alpha_i - \beta_i são nulos e portanto \alpha_i = \beta_i , i = 1 ,2,3 , \hdots , m .

Espero que ajude .
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Re: Dependência e independência linear

Mensagempor MtHenrique » Dom Mai 04, 2014 18:03

Ajudou bem ;) , obrigado, mas você consegue resolver a letra b)?
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Re: Dependência e independência linear

Mensagempor e8group » Dom Mai 04, 2014 22:43

Dica :

Se \{v_1, \hdots , v_m \} fosse L.D. ,alguns dos escalares \alpha_i  - \beta_i seria não nulo e com isso não podemos concluir a igualdade \alpha_i = \beta_i para todo i = 1 , ...,m .

Este raciocínio deve ser utilizado no item b.
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Assunto: (FGV) ... função novamente rs
Autor: my2009 - Qua Dez 08, 2010 21:48

Uma função polinomial f do 1° grau é tal que f(3) = 6 e f(4) = 8.Portanto o valor de f(10) é :


Assunto: (FGV) ... função novamente rs
Autor: Anonymous - Qui Dez 09, 2010 17:25

Uma função de 1º grau é dada por y=ax+b.
Temos que para x=3, y=6 e para x=4, y=8.
\begin{cases}6=3a+b\\8=4a+b\end{cases}
Ache o valor de a e b, monte a função e substitua x por 10.


Assunto: (FGV) ... função novamente rs
Autor: Pinho - Qui Dez 16, 2010 13:57

my2009 escreveu:Uma função polinomial f do 1° grau é tal que f(3) = 6 e f(4) = 8.Portanto o valor de f(10) é :



f(x)= 2.x
f(3)=2.3=6
f(4)=2.4=8
f(10)=2.10=20


Assunto: (FGV) ... função novamente rs
Autor: dagoth - Sex Dez 17, 2010 11:55

isso ai foi uma questao da FGV?

haahua to precisando trocar de faculdade.


Assunto: (FGV) ... função novamente rs
Autor: Thiago 86 - Qua Mar 06, 2013 23:11

Saudações! :-D
ví suaquestão e tentei resolver, depois você conta-me se eu acertei.
Uma função de 1º grau é dada por y=3a+b

Resposta :
3a+b=6 x(4)
4a+b=8 x(-3)
12a+4b=24
-12a-3b=-24
b=0
substituindo b na 1°, ttenho que: 3a+b=6
3a+0=6
a=2
substituindo em: y=3a+b
y=30+0
y=30
:coffee: