[Subespaço Vetorial] Verificar que é o conjunto é subespaço

por **anderson_wallace** » Seg Dez 30, 2013 17:56

Verificar que S é um subespaço vetorial de V

V = P e S={p (pertence) P (tal que) p(0)=2p(1)}

Não consegui se quer iniciar a demonstração. Minha dificuldade principal consiste em encontrar a notação geral para os elementos do conjunto S, isto é, como escrever de modo genérico todos os polinômios que satisfazem a condição

.
Na verdade em vários outros exercícios de espaço e subespaço esse tem sido o maior problema, encontrar a notação geral para polinômios, funções, etc, que devem satisfazer condições específicas. Mas gostaria de ajuda nesse exercício em especial.

por **Renato_RJ** » Seg Dez 30, 2013 19:32

Boa noite !!!

Para provarmos que S é subespaço vetorial de V, basta fazermos:

1 - Sejam u e v elementos de S, então u + v está em S.

2 - Seja c um escalar e v um elemento de S, então cv está em S.

Vejamos:

1 - Sejam $p_1(x) \, \textrm{e} \, p_2(x) \in S$ , então

(p_1 + p_2)(0) = p_1(0) + p_2(0) = 2p_1(1) + 2p_2(1) = 2(p_1 + p_2)(1)

(p_1 + p_2)(0) = p_1(0) + p_2(0) = 2p_1(1) + 2p_2(1) = 2(p_1 + p_2)(1)

2 Sejam $\alpha$ um escalar e $p_1(x) \in S$ , então

$(\alpha p_1)(0) = \alpha p_1(0) = \alpha 2p_1(1) = 2(\alpha p_1)(1)$

Notação você é quem escolhe, desde que defina quem é quem antes de iniciar sua demonstração. Quanto as condições específicas você tem que verificar exatamente o que o problema te oferece, neste caso só foi passado o mapa da função polinomial (isto é, que p(0) leva a 2p(1)).

Abraços,
Renato.

por **anderson_wallace** » Ter Dez 31, 2013 01:25

Obrigado Renato_RJ, entendi bem o procedimento. Foram somados dois elementos arbitrários de S, e com a própria condição do conjunto, p(0)=2p(1), foi possível verificar que a soma é bem definida.
Gostaria de entender melhor a ideia, para isso preciso saber se o seguinte raciocínio está correto:

Supondo que fosse dado um conjunto e pede-se para provar que é um espaço vetorial, tomemos como exemplo o conjunto: $V={{f:\Re\rightarrow \Re; f(-x)=f(x), \forallx\in\Re}}$ . Ora, mas seja

o conjunto das funções de R em R, sabemos que

é um espaço vetorial, e de fato isso é simples de se provar, e como $V\subset F$ os elementos de V satisfazem as propriedades para espaço vetorial, logo para mostrar que V é um espaço, basta verificar se o vetor nulo e o simétrico estão em V, ou ainda verificar se a adição e a multiplicação por escalar estão bem definidas, o que recairia num procedimento análogo ao da questão anterior. Está certa essa conclusão?

Por outro lado, se for realmente necessário testar cada uma das oito propriedades de espaço, teria como realizar um procedimento semelhante ao do exercício anterior? Por exemplo, como provar a comutatividade na adição?

por **Renato_RJ** » Ter Dez 31, 2013 14:00

Boa tarde !!

Se quiser provar que V é um espaço vetorial, aí terá que provar as oito propriedades, então basta pegar alguns elementos de V e verificar se a propriedade do conjunto satisfaz as oito propriedades de um espaço vetorial...

Abraços,
Renato.