[Sub-espaço vetorial]

por **JauM** » Qua Dez 04, 2013 14:15

Seja V um espaço vetorial. Dado um subconjunto $S\neq\left[ \right]$ de V, provar que a intersecção
de todos os sub-espaços vetoriais de V que contêm S também é um sub-espaço vetorial
de V, sendo o menor sub-espaço de V que contém S.

Minha tentativa foi basicamente tentar a demonstração através da definição de sub-espaço, ou seja:

Seja W = { W1 $\cap$ W2... $\cap$ Wn} a intersecção de todos os sub-espaços vetoriais de V, tal que S $\subset$ W, temos:

a) 0 $\in$ W, pois por hipotese W é sub-espaço, logo 0 $\in$ S.

b) Seja u e v $\in$ W. u + v $\in$ W, logo u + v $\in$ S.

c) Seja x $\in$ $\Re$ , e u $\in$ W, logo xu $\in$ W e portanto xu $\in$ S.

Acho que essa demonstração está errada, e não sei como demonstrar que W é o menor sub-espaço de V. Se poderem me ajudar eu agradeço.

por **e8group** » Qua Dez 04, 2013 16:15

Bom na minha opinião você errou em dizer " w por hipótese é sub-espaço vetorial de V " ,pois queremos exatamente mostrar-se que W é sub-espaço vetorial de V . Seguindo sua linha de raciocínio , sejam

$W_1 , \hdots , W_n$ sub-espaços vetoriais de

os quais contém o subconjunto

de

.Prosseguindo, o menor subconjunto de

que contém

é o próprio

,mas não necessariamente ele será sub-espaço de

.Provando-se que interseção de sub-espaços é também sub-espaço, poderemos afirmar que $W \subset V$ que contém

e estar contido em todos W_i's

será o menor sub-espaço de

,ou seja , $W = W_1 \cap \hdots \cap W_n = \bigcap_{i=1}^{n} W_i$ .

Agora é só mostrar que

é sub-espaço de

.

Dica : Utilize a hipótese de $W_1 , \hdots , W_n$ serem sub-espaços de

.

por **JauM** » Qui Dez 05, 2013 14:37

Valeu, muito obrigado pela ajuda.

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