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[Sub-espaço vetorial]

[Sub-espaço vetorial]

Mensagempor JauM » Qua Dez 04, 2013 14:15

Seja V um espaço vetorial. Dado um subconjunto S\neq\left[ \right] de V, provar que a intersecção
de todos os sub-espaços vetoriais de V que contêm S também é um sub-espaço vetorial
de V, sendo o menor sub-espaço de V que contém S.

Minha tentativa foi basicamente tentar a demonstração através da definição de sub-espaço, ou seja:

Seja W = { W1\capW2...\capWn} a intersecção de todos os sub-espaços vetoriais de V, tal que S \subsetW, temos:

a) 0 \in W, pois por hipotese W é sub-espaço, logo 0 \in S.

b) Seja u e v \in W. u + v \in W, logo u + v \in S.

c) Seja x \in \Re, e u \in W, logo xu \in W e portanto xu \in S.

Acho que essa demonstração está errada, e não sei como demonstrar que W é o menor sub-espaço de V. Se poderem me ajudar eu agradeço.
JauM
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Re: [Sub-espaço vetorial]

Mensagempor e8group » Qua Dez 04, 2013 16:15

Bom na minha opinião você errou em dizer " w por hipótese é sub-espaço vetorial de V " ,pois queremos exatamente mostrar-se que W é sub-espaço vetorial de V . Seguindo sua linha de raciocínio , sejam

W_1 , \hdots , W_n sub-espaços vetoriais de V os quais contém o subconjunto S de V .Prosseguindo, o menor subconjunto de V que contém S é o próprio S ,mas não necessariamente ele será sub-espaço de V .Provando-se que interseção de sub-espaços é também sub-espaço, poderemos afirmar que W \subset V que contém S e estar contido em todos W_i's será o menor sub-espaço de V ,ou seja , W = W_1 \cap \hdots \cap W_n = \bigcap_{i=1}^{n} W_i .

Agora é só mostrar que W é sub-espaço de V .

Dica : Utilize a hipótese deW_1 , \hdots , W_n serem sub-espaços de V .
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Re: [Sub-espaço vetorial]

Mensagempor JauM » Qui Dez 05, 2013 14:37

Valeu, muito obrigado pela ajuda.
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Autor: Alucard014 - Dom Ago 01, 2010 18:22

(UNESP - 95) Seja L o Afixo de um Número complexo a=\sqrt{8}+ i em um sistema de coordenadas cartesianas xOy. Determine o número complexo b , de módulo igual a 1 , cujo afixo M pertence ao quarto quadrante e é tal que o ângulo LÔM é reto.


Assunto: Unesp - 95 Números Complexos
Autor: MarceloFantini - Qui Ago 05, 2010 17:27

Seja \alpha o ângulo entre o eixo horizontal e o afixo a. O triângulo é retângulo com catetos 1 e \sqrt{8}, tal que tg \alpha = \frac{1}{sqrt{8}}. Seja \theta o ângulo complementar. Então tg \theta = \sqrt{8}. Como \alpha + \theta = \frac{\pi}{2}, o ângulo que o afixo b formará com a horizontal será \theta, mas negativo pois tem de ser no quarto quadrante. Se b = x+yi, então \frac{y}{x} = \sqrt {8} \Rightarrow y = x\sqrt{8}. Como módulo é um: |b| = \sqrt { x^2 + y^2 } = 1 \Rightarrow x^2 + y^2 = 1 \Rightarrow x^2 + 8x^2 = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{3} \Rightarrow y = \frac{\sqrt{8}}{3}.

Logo, o afixo é b = \frac{1 + i\sqrt{8}}{3}.