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[Sub-espaço vetorial]

[Sub-espaço vetorial]

Mensagempor JauM » Qua Dez 04, 2013 14:15

Seja V um espaço vetorial. Dado um subconjunto S\neq\left[ \right] de V, provar que a intersecção
de todos os sub-espaços vetoriais de V que contêm S também é um sub-espaço vetorial
de V, sendo o menor sub-espaço de V que contém S.

Minha tentativa foi basicamente tentar a demonstração através da definição de sub-espaço, ou seja:

Seja W = { W1\capW2...\capWn} a intersecção de todos os sub-espaços vetoriais de V, tal que S \subsetW, temos:

a) 0 \in W, pois por hipotese W é sub-espaço, logo 0 \in S.

b) Seja u e v \in W. u + v \in W, logo u + v \in S.

c) Seja x \in \Re, e u \in W, logo xu \in W e portanto xu \in S.

Acho que essa demonstração está errada, e não sei como demonstrar que W é o menor sub-espaço de V. Se poderem me ajudar eu agradeço.
JauM
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Re: [Sub-espaço vetorial]

Mensagempor e8group » Qua Dez 04, 2013 16:15

Bom na minha opinião você errou em dizer " w por hipótese é sub-espaço vetorial de V " ,pois queremos exatamente mostrar-se que W é sub-espaço vetorial de V . Seguindo sua linha de raciocínio , sejam

W_1 , \hdots , W_n sub-espaços vetoriais de V os quais contém o subconjunto S de V .Prosseguindo, o menor subconjunto de V que contém S é o próprio S ,mas não necessariamente ele será sub-espaço de V .Provando-se que interseção de sub-espaços é também sub-espaço, poderemos afirmar que W \subset V que contém S e estar contido em todos W_i's será o menor sub-espaço de V ,ou seja , W = W_1 \cap \hdots \cap W_n = \bigcap_{i=1}^{n} W_i .

Agora é só mostrar que W é sub-espaço de V .

Dica : Utilize a hipótese deW_1 , \hdots , W_n serem sub-espaços de V .
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Re: [Sub-espaço vetorial]

Mensagempor JauM » Qui Dez 05, 2013 14:37

Valeu, muito obrigado pela ajuda.
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Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: scggomes - Sex Fev 18, 2011 10:38

Olá ! Tenho essa dúvida e não consigo montar o problema para resolução:

Qual é o racional não nulo cujo o quadrado é igual à sua terça parte ?

Grata.


Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: MarceloFantini - Sex Fev 18, 2011 12:27

x^2 = \frac{x}{3}


Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: scggomes - Sex Fev 18, 2011 12:55

também pensei que fosse assim, mas a resposta é \frac{1}{3}.

Obrigada Fantini.


Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: MarceloFantini - Sex Fev 18, 2011 13:01

x^2 = \frac{x}{3} \Rightarrow x^2 - \frac{x}{3} = 0 \Rightarrow x \left(x - \frac{1}{3} \right) = 0

Como x \neq 0:

x - \frac{1}{3} = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{3}

O que você fez?


Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: scggomes - Sex Fev 18, 2011 16:17

eu só consegui fazer a igualdade, não consegui desenvolver o restante, não pensei em fatoração, mas agora entendi o que vc fez.

Obrigada.