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[Espaço Vetorial] Prova do conjunto de funções reais

[Espaço Vetorial] Prova do conjunto de funções reais

Mensagempor dileivas » Qua Ago 07, 2013 20:53

Estou com dificuldade em provar os 8 axiomas para mostrar que o conjunto de funções reais forma um espaço vetorial.

Minha primeira dúvida já começa na representação de uma função real. Estaria certo representar uma função real para essa prova como f(x) ou devo utilizar "n" variáveis do tipo f(x,y...,n)?

Minha segunda dúvida é em relação as operações de soma e multiplicação por escalar. Como ficariam?

Creio que sabendo isso consiga demonstrar os 8 axiomas.

Obrigado!
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Re: [Espaço Vetorial] Prova do conjunto de funções reais

Mensagempor Russman » Qua Ago 07, 2013 21:36

Como "função real" você quer dizer o conjunto de funções contínuas do tipo f(x_1,...,x_n):\mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{R}?

Se sim, para mostrar que é um espaço vetorial você deve mostrar que a soma e a multiplicação por um número real pertencem a esse espaço. Isto é verdade, pois a soma de duas funções reais contínuas é uma função real contínua assim como uma função real contínua multiplicada por um número real também é uma função real contínua.

E = \left \{  f(x_1,...,x_n):\mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{R}, continua \right \}

f_1(x_1,...,x_n) + f_2(x_1,...,x_n) = f_3(x_1,...,x_n) \in E
\alpha f_1(x_1,...,x_n) = f_2(x_1,...,x_n) \in E
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Re: [Espaço Vetorial] Prova do conjunto de funções reais

Mensagempor dileivas » Qua Ago 07, 2013 21:56

Russman escreveu:Como "função real" você quer dizer o conjunto de funções contínuas do tipo f(x_1,...,x_n):\mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{R}?


Creio que seja isso mesmo. Meu professor em aula deu exemplo de função real de uma variável f(x). Como o exercício pede a prova do "conjunto das funções reais" deve ser algo mais amplo como você indicou.

Aproveitando o tópico, no mesmo exercicio pede a prova do conjunto de matrizes 2x2 cujo o traço é zero. Como eu defino um vetor que está nesse conjunto? Seria algo do tipo \textbf{v}=
\begin{pmatrix}
   0 & x_1  \\ 
   x_2 & 0 
\end{pmatrix} ?

Muito obrigado pela ajuda!
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Re: [Espaço Vetorial] Prova do conjunto de funções reais

Mensagempor Russman » Qui Ago 08, 2013 11:52

O traço de uma matriz é a soma dos elementos de sua diagonal. Assim, se

E=\left \{ \begin{pmatrix}
x_1 & x_2\\ 
 x_3 & x_4
\end{pmatrix} / x_1,x_2,x_3,x_4 \in \mathbb{R} \right \}

e tomarmos

V = \left \{ v = \begin{pmatrix}
x_1 & x_2\\ 
 x_3 & x_4
\end{pmatrix} / x_1,x_2,x_3,x_4 \in \mathbb{R},x1+x4=0 \right \}

então, fazendo x_1= \alpha, temos

V = \left \{ v=\begin{pmatrix}
\alpha & x_2\\ 
 x_3 & -\alpha
\end{pmatrix} / x_2,x_3, \alpha \in \mathbb{R} \right \}.

Se V é espaço vetorial então para quaisquer v_1 \in V e v_2 \in V devemos verificar (v_1 + v_2) \in V , kv \in V e a existência do elemento neutro.

De fato, o elemento neutro existe pois basta tomar x_2 = x_3 = \alpha = 0. Ainda,

v_1 + v_2 =\begin{pmatrix}
\alpha_1 & x_2_1\\ 
 x_3_1 & -\alpha_1
\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}
\alpha_2 & x_2_2\\ 
 x_3_2 & -\alpha_2
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
 \alpha_1 + \alpha_2 & x_2_1+x_2_2 \\ 
 x_3_1 + x_3_2 & -\alpha_1 - \alpha_2 
\end{pmatrix}

e como \alpha_1 + \alpha_2  -\alpha_1 - \alpha_2 =0 então v_1 + v_2 \in V.



Agora,

kv  =\begin{pmatrix}
k\alpha & kx_2\\ 
 kx_3 & -k\alpha
\end{pmatrix}

de modo que k \alpha - k \alpha = k(\alpha - \alpha) = 0 e, portanto, kv \in V.

Assim, V é espaço vetorial!
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Re: [Espaço Vetorial] Prova do conjunto de funções reais

Mensagempor e8group » Qui Ago 08, 2013 16:15

Boa tarde . Observe a pagina 7 , exemplo 5 no seguinte link : http://www.mat.ufmg.br/~regi/gaalt/gaalt2.pdf .
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Função inversa

Mensagempor BRUNA AVILA » Ter Ago 13, 2013 15:16

[color=#FF0000]Boa tarde!!

não consigo resolver o exercício de função inversa

Ache a função inversa 2x-1/3,minha dificuldade e porque não consigo resolver a fração,alguém pode me ajudar.
[/color]
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Assunto: dúvida em uma questão em regra de 3!
Autor: leandro moraes - Qui Jul 01, 2010 12:41

pessoal eu achei como resultado 180 toneladas,entretanto sei que a questão está erra pela lógica e a resposta correta segundo o gabarito é 1.800 toneladas.
me explique onde eu estou pecando na questão. resolva explicando.

78 – ( CEFET – 1993 ) Os desabamentos, em sua maioria, são causados por grande acúmulo de lixo nas encostas dos morros. Se 10 pessoas retiram 135 toneladas de lixo em 9 dias, quantas toneladas serão retiradas por 40 pessoas em 30 dias ?


Assunto: dúvida em uma questão em regra de 3!
Autor: Douglasm - Qui Jul 01, 2010 13:16

Observe o raciocínio:

10 pessoas - 9 dias - 135 toneladas

1 pessoa - 9 dias - 13,5 toneladas

1 pessoa - 1 dia - 1,5 toneladas

40 pessoas - 1 dia - 60 toneladas

40 pessoas - 30 dias - 1800 toneladas


Assunto: dúvida em uma questão em regra de 3!
Autor: leandro moraes - Qui Jul 01, 2010 13:18

pessoal já achei a resposta. o meu erro foi bobo rsrsrrs errei em uma continha de multiplicação, é mole rsrsrsr mas felizmente consegui.


Assunto: dúvida em uma questão em regra de 3!
Autor: leandro moraes - Qui Jul 01, 2010 13:21

leandro moraes escreveu:pessoal já achei a resposta. o meu erro foi bobo rsrsrrs errei em uma continha de multiplicação, é mole rsrsrsr mas felizmente consegui.

valeu meu camarada.