Vou tentar responder de forma generalizada .
Considere a matriz
e
solução do sistema linear homogêneo
.Suponhamos que após aplicarmos operações elementares
na matriz
obtemos a matriz identidade
.Ora ,neste caso a matriz
é equivalente por linhas a matriz identidade
,logo o sistema
é compatível e determinado e portanto a matriz
é invertível .
Uma demonstração (não tenho certeza se está correta )
Vamos denotar
as matrizes elementares obtidas respectivamente pelas operações elementares
sobre a matriz identidade .
A demonstração é simples , podemos escrever
certo ? Aplicando a operação elementar
em ambos membros , temos
[observe que tal operação pode ser por exemplo : multiplicar a primeira linha da matriz identidade por um número e somar a segunda linha] ,de forma análoga se obtêm
Portanto
é invertível e sua inversa é
a qual denotaremos por
.
Agora vejamos um método para verificar se uma determinada matriz é invertível .
Se
é invertível então
, logo
,caso
não fosse invertível segue
.
Conclusão : Podemos verificar se o sistema(*) possui solução além da trivial se
.
Pois se
invertível e portanto multiplicando-se pela esquerda ambos membros de (*) por
, temos :
e é fácil verificar a unicidade .
Resumindo : Um sistema linear
é compatível e determinado se
caso contrário este sistema pode ser compatível e indeterminado ou incompatível (não há solução ) .