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Matriz de Transformação Linear e seu Determinante. Por quê?

Matriz de Transformação Linear e seu Determinante. Por quê?

Mensagempor marcosmuscul » Sex Jul 26, 2013 18:04

foi-me dito que se o determinante da Matriz de Transformação Linear nxn, isto é, Det{\left[T \right]}_{nxn} for igual a zero em um sistema linear homogêneo, o sistema admite não somente a solução trivial, e que se o determinante for igual a zero, o sistema só admite a solução trivial.
deixe-me ilustrar:
\begin{pmatrix}
   a & b  \\ 
   c & d 
\end{pmatrix}. 
\begin{pmatrix}
   x  \\ 
   y 
\end{pmatrix} = 
\begin{pmatrix}
   0  \\ 
   0 
\end{pmatrix}
Se Det
\begin{pmatrix}
   a & b  \\ 
   c & d 
\end{pmatrix}= 0 então a solução do sistema é não somente a solução trivial.

Caso o determinante seja diferente de zero então cabe somente a solução trivial.


A minha dúvida é:
Que propriedade é esta? ela é consequencia de algo? Se o que eu expus for verdade, isto se aplica somente ao sistema linear homogêneo?
Agradeço pela atenção.
marcosmuscul
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Re: Matriz de Transformação Linear e seu Determinante. Por q

Mensagempor e8group » Sáb Jul 27, 2013 14:08

Vou tentar responder de forma generalizada .

Considere a matriz A = (a_{ij})_{n \times n} e X = (x_1,\hdots , x_n )^T solução do sistema linear homogêneo (*)  A \cdot  X =[O_{\mathbb{R} ^n} ] ^T =  (0,\hdots , 0 )^T .Suponhamos que após aplicarmos operações elementares e_1 , \hdots , e_k na matriz A obtemos a matriz identidade I_n .Ora ,neste caso a matriz A é equivalente por linhas a matriz identidade I_n ,logo o sistema (*) é compatível e determinado e portanto a matriz A é invertível .

Uma demonstração (não tenho certeza se está correta )

Vamos denotar E_1 , \hdots , E_k as matrizes elementares obtidas respectivamente pelas operações elementares e_1 , \hdots , e_k sobre a matriz identidade .

A demonstração é simples , podemos escrever A = I_n A certo ? Aplicando a operação elementar e_1 em ambos membros , temos e_1 A = (e_1 I_n) A [observe que tal operação pode ser por exemplo : multiplicar a primeira linha da matriz identidade por um número e somar a segunda linha] ,de forma análoga se obtêm

(e_k \cdot e_{k-1} \cdots e_{1} ) A = (e_k I_n \cdot e_{k-1}I_n \cdots e_{1}I_n ) A = ( E_k  \cdots E_1) A = I_n

A (e_k \cdot e_{k-1} \cdots e_{1} ) = A(e_k I_n \cdot e_{k-1}I_n \cdots e_{1}I_n ) =A ( E_k  \cdots E_1)  = I_n

Portanto A é invertível e sua inversa é E_k  \cdots E_1 a qual denotaremos por A^{-1} .

Agora vejamos um método para verificar se uma determinada matriz é invertível .

Se A é invertível então A \cdot A^{-1} = I_n , logo det (A \cdot A^{-1}) = det( I_n) = det(A) det(A^{-1}) = 1 \implies det(A) \neq 0 ,caso A não fosse invertível segue det(A) = 0 .

Conclusão : Podemos verificar se o sistema(*) possui solução além da trivial se det(A) = 0 .

Pois se det(A) \neq 0 \implies A invertível e portanto multiplicando-se pela esquerda ambos membros de (*) por A^{-1} , temos :

A^{-1} (AX =  A^{-1} (0,\hdots , 0 )^T =   ( A^{-1} A)X = A^{-1} (0,\hdots , 0 )^T  = I_n X = X= (0,\hdots , 0 )^T

e é fácil verificar a unicidade .

Resumindo :

Um sistema linear AX = B é compatível e determinado se det(A)\neq 0 caso contrário este sistema pode ser compatível e indeterminado ou incompatível (não há solução ) .
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Re: Matriz de Transformação Linear e seu Determinante. Por q

Mensagempor marcosmuscul » Dom Jul 28, 2013 23:10

O que eu quero dizer é o seguinte:
seja a seguinte transformação linear,por exemplo:
T(x,y) = (ax + by, cx + dy), sendo a,b,c,d constantes quaisquer.

Eu quero que (ax + by, cx + dy) seja igual a (0,0) sem que x e y sejam 0.

Para isso,estava escrito no livro que o determinante da matriz transformação T precisa ser zero.
Onde T = 
\begin{pmatrix}
   a & b  \\ 
   c & d 
\end{pmatrix}


Por quê?
O que ,na verdade, é um Determinante? Sei como calcular e tal... mas nunca vi uma definição clara sobre o que, de fato, é um Determinante.
Sei também que podemos transformar uma matriz qualquer em uma equivalente e tal... e as operações devidas pra calcular tanto o determinante da original como da equivalente,que ailás, precisam dar o mesmo resultado.
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Re: Matriz de Transformação Linear e seu Determinante. Por q

Mensagempor temujin » Seg Jul 29, 2013 13:24

Não sou matemático, então não conheço nenhuma definição formal disto. Vou tentar dar uma resposta muito intuitiva...

Se existe algum \vec{u}=(a,b) tal que ax+by=0, então qualquer vetor paralelo a \vec{u} tb te leva a 0. Mas qualquer matriz com uma linha ou coluna paralela a outra forma um conjunto LD e, portanto, tem determinante nulo. Logo, existem infinitas soluções para o sistema. Por outro lado, se a matriz tem posto completo, então o conjunto é LI e, portanto, os vetores que a formam não serão paralelos. Então, a única solução possível é a trivial.

Não sei se é bem isto que vc estava procurando...
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1) Para que os pontos (1,3) e (-3,1) pertençam ao grafico da função f(X)=ax + b ,o valor de b-a deve ser ?

2)Qual o maior valor assumido pela função f : [-7 ,10] em R definida por f(x) = x ao quadrado - 5x + 9?

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1)Dados dois pontos A=(1,3) e B=(-3,1) de uma reta, é possivel definir a sua equação.

y_{b}-y_{a}=m(x_{b}-x_{a})

1-3=m(-3-1) \Leftrightarrow -2=-4m \Leftrightarrow m=\frac{2}{4} \Leftrightarrow m=\frac{1}{2}

Em y=mx+b substitui-se m, substitui-se y e x por um dos pares ordenados, e resolve-se em ordem a b.

3=\frac{1}{2} \cdot 1+b\Leftrightarrow 3-\frac{1}{2}=b \Leftrightarrow b=\frac{5}{2}



2)Na equação y=x^2-5x+9 não existem zeros.Senão vejamos

Completando o quadrado,

(x^2-5x+\frac{25}{4})+9-\frac{25}{4} =0\Leftrightarrow (x-\frac{5}{2})^2+\frac{11}{4}=0

As coordenadas do vertice da parabola são (\frac{5}{2},\frac{11}{4})

O eixo de simetria é a reta x=\frac{5}{2}.Como se pode observar o vertice está acima do eixo Ox, estando parabola virada para cima, o vertice é um mínimo absoluto.Então basta calcular a função para os valores dos extremos do intervalo.

f(-7)=93
f(10)=59